北京工业大学：《概率与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）§2.4 随机变量函数的分布

§2.4随机变量函数的分布 问题的提出 在实际中，人们有时对随机变量的函数 更感兴趣。如：已知圆轴截面直径D的分布， 求截面面积A=πD/4的分布

问题的提出 在实际中，人们有时对随机变量的函数 更感兴趣。如: 已知圆轴截面直径D的分布, §2.4 随机变量函数的分布 求截面面积 / 4 的分布。 2 A = D

又如：已知=t,时刻噪声电压I的分布， 求功率W=PR(R为电阻)的分布等。 一般地，设随机变量X的分布已知， 求Y=gCX)(设g是连续函数)的分布。 这个问题无论在理论上还是在实实际中 都非常重要

又如：已知 t=t0 时刻噪声电压I 的分布， 求功率 W=I2R (R为电阻) 的分布等。 一般地，设随机变量X 的分布已知， 求Y=g(X) (设 g 是连续函数) 的分布。 这个问题无论在理论上还是在实实际中 都非常重要

2.4.1离散型随机变量函数的分布 例1：设随机变量X有如下概率分布： X -1 2 0.2 0.30.10.4 求Y=X-1)2的概率分布。 解：当X取值-1,0,1,2时， Y取对应值4,1,0和1。 由P{Y=0}=P{X=1}=0.1, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7, P{Y=4}=PX=-1}=0.2

2.4.1 离散型随机变量函数的分布 解：当 X 取值 -1，0，1，2 时， Y 取对应值 4，1，0 和 1。 由 P{Y=0} = P{X=1}=0.1， P{Y=1} = P{X=0}+P{X=2} = 0.3+0.4 = 0.7， P{Y=4} = P{X=-1} = 0.2 . 例1：设随机变量X有如下概率分布： 求 Y= (X – 1)2 的概率分布

得Y的概率分布： 0 4 0.1 0.7 0.2 一 般地，若X是离散型随机变量，概率分布为 X x Pk 如果gc)g心2)，.，g心，.中有一些是相同 的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同 (不妨认为从小到大)的y1y2,.,y

得Y 的概率分布： 一般地，若X是离散型 随机变量，概率分布为 如果 g(x1 ), g(x2 ), . , g(xk ), . 中有一些是相同 的，把它们作适当并项即可得到一串互不相同 (不妨认为从小到大) 的y1 , y2 , . , yi ,

把y,所对应的所有x(即y;=gc))的p,相加， 记成4，则q1,92,.,q,就是Y=gX的概 率分布。 例2：在应用上认为：单位时间内，一个地区发 生火灾的次数服从泊松分布。设某城市一个月 内发生火灾的次数X~P⑤)，试求随机变量Y= |X-5的概率分布。 解：由于X的所有可能取值为0,1,2，·，对应 的概率分布为

把 yi 所对应的所有xk ( 即yi = g(xk ) ) 的 pk相加， 记成 qi , 则 q1 , q2 , . , qi , .就是Y = g(X) 的概 率分布。 例2：在应用上认为: 单位时间内，一个地区发 生火灾的次数服从泊松分布。设某城市一个月 内发生火灾的次数 X～P(5)，试求随机变量Y= |X-5|的概率分布。 解：由于X的所有可能取值为0, 1, 2, . , 对应 的概率分布为

e55 P{X== k=0,1,2,. 51 及Y=X-5可知，Y的所有可能取值为0,1,2， .。且对每个i,当0<达5时，有=5+i和 k=5-i两个k值与对应，使k-5=i;当=0或 6时，只有一个k值与对应，使k-5=i。 于是，Y的概率分布为： 55 5 i=1,2,3,4,5 q=P{Y=}= 儿5-*5+ i=0,67,. (5+i)1

       = + =       + + − = = = − + − − + , 0,6,7, . (5 )! 5 , 1,2,3,4,5, (5 )! 5 (5 )! 5 { } 5 5 5 5 5 e i  i e i i i q P Y i i i i i 及Y=|X-5|可知，Y的所有可能取值为0, 1, 2, .。且对每个 i，当 0<i≤ 5时，有k=5+i和 k=5-i 两个k值与i对应, 使 |k-5|=i; , 0,1, 2, . 5! 5 { } 5 = = =  − k e P X k k 当i=0 或 i≥6 时，只有一个k 值与i对应，使|k-5|=i 。 于是，Y的概率分布为：

2.4.2连续型随机变量函数的分布 例3：设随机变量X有概率密度 fr(x)= x/8,0<x<4, 0,其他 求Y=2X+8的概率密度。 解：设Y的分布函数为Fy),则 F(y)=PY≤8} =P2X+8≤y} =P{X≤(y-8)/2} =Fx[(y-8)/2]

2.4.2 连续型随机变量函数的分布 解：设 Y 的分布函数为 FY (y)，则 例3：设随机变量X 有概率密度      = 0, . /8, 0 4, ( ) 其他 x x f x X 求 Y = 2X+8 的概率密度。 F ( y) = P{Y  8} Y [( 8)/ 2]. { ( 8)/ 2} {2 8 } = − =  − = +  F y P X y P X y X

于是Y的密度函数 (y)=4 02=fy-8/217, dy 注意到 [x/8,0<x<4, f)=0, 其他 得 y-8 f()= 8<y<16, 0, 其他 @四的

于是Y 的密度函数 , 2 1 [( 8)/ 2] ( ) ( ) = = f y −  d y d F y f y X Y Y 注意到      = 0, . /8, 0 4, ( ) 其他 x x f x X 得       − = 0, . , 8 16, 32 8 ( ) 其他 y y f y Y

例4：设X具有概率密度fx),求=X的密度。 解：设Y和X的分布函数分别为Fy)和Fx(心)， 注意到Y=X2≥0，故当s0时，Fvy0; 当y>0时，F(y)=PY≤y)=P(X≤y) =P(-√y≤X≤Vy) 求导可得 =Fx()-F(-) @-0 dy 0, y≤0

= P(− y  X  y) 求导可得         + −  = = 0, 0. ( ) ( ) , 0, 2 1 ( ) ( ) y f y f y y y d y d F y f y Y X X Y 当 y>0 时, F ( y) P(Y y) Y =  ( ) 2 = P X  y F ( y) F ( y). = X − X − 例4：设 X 具有概率密度fX (x)，求Y=X2的密度。 解：设Y 和X的分布函数分别为FY(y)和FX(x), 注意到 Y=X2 ≥0，故当 y≤0时，FY(y)=0；

0 y≤0 则Y=X2的概率密度为： y≤0

若 , 2 1 ( ) 2 2 e x f x X − =  则 Y=X2的概率密度为：       = − − 0, 0. , 0, 2 1 ( ) 2 2 1 y y f y y e y Y  −  x  .         + −  = = 0, 0. ( ) ( ) , 0, 2 1 ( ) ( ) y f y f y y y d y d F y f y Y X X Y