北京工业大学：《概率与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）§4.3 协方差与相关系数 §4.3 矩与协方差矩阵

§4.3协方差与相关系数 对于二维随机向量X,),除了其分量X 和Y的期望与方差之外，还有一些数字特征， 用以刻画X与Y之间的相关程度，其中最主要 的就是下面要讨论的协方差和相关系数。 4.3.1协方差 定义1：若E{IX-EIY-E)}存在， 则称其为X与Y的协方差，记为CovX,),即 Cov(X,Y)=EX-E(XY-E(Y) (1)

§4.3 协方差与相关系数 对于二维随机向量(X,Y)， 除了其分量X 和Y 的期望与方差之外, 还有一些数字特征, 用以刻画X与Y之间的相关程度，其中最主要 的就是下面要讨论的协方差和相关系数。 定义1：若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在， 则称其为X 与Y 的协方差，记为Cov(X,Y), 即 4.3.1 协方差 Cov(X, Y) = E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}. (1)

协方差性质 (1).Cov(X,Y)=Cov(Y,X); 2).设4，b,c,d是常数，则 Cov(aX+b,cY+d)=ac Cov(X,Y); (3).Cov(X+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y); (4).Cov(X,Y)=E(XY)-[E(X)]E(Y)], 当X和Y相互独立时，Cov(X,)=O: (5).Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)

(3). Cov(X1+X2 , Y)= Cov(X1 , Y) + Cov(X2 , Y) ； (1). Cov(X, Y) = Cov(Y, X)； 协方差性质 (2). 设 a, b, c, d 是常数，则 Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ； (4). Cov(X, Y) =E(XY)-[E(X)][E(Y)] ， (5). Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y) . 当 X 和 Y 相互独立时，Cov(X, Y)=0；

性质（⑤）可推广到n个随机变量的情形： er2X)=立amX)+2comX,X,） 若X,X,Xn两两独立，则 ar空x)=amx) @@风

若 X1 , X2 , . , Xn 两两独立，则 性质(5)可推广到n个随机变量的情形： ( ) ( ) 2 ( , ). 1 1 i j n i n i i j Var Xi Var Xi Cov X X = =  = +  ( ) ( ). 1 1   = = = n i n i Var Xi Var Xi

协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X和Y本身度量单位 的影响。例如： Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y). 为了克服这一缺点，对协方差进行标准 化，这就引入了相关系数。 @@的

协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y 相互间的关系，但它还受X 和Y 本身度量单位 的影响。 例如： Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y). 为了克服这一缺点，对协方差进行标准 化，这就引入了相关系数

4.3.2相关系数 定义2：设Var)>0,Var()>0,则称 Cov(X,Y) War(X）Var(Y） 为随机变量X和Y的相关系数 在不致引起混淆时，记Py为P

4.3.2 相关系数 为随机变量X 和Y 的相关系数。 定义2: 设Var(X) > 0, Var(Y) > 0, 则称 ( ) ( ) ( , ) Var X Var Y Cov X Y  XY = 在不致引起混淆时，记  XY 为 

相关系数性质 ().|p1; 证：由方差与协方差关系，对任意实数b,有 00,知1-p220,所以|p≤1

相关系数性质 (1). |  |1; 证：由方差与协方差关系，对任意实数b, 有 0≤Var(Y-bX)=b 2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y ), , ( ) ( , ) Var X Cov X Y 令 b = 则有 Var(Y-bX) = ( ) [ ( , )] ( ) 2 Var X Cov X Y Var Y −       = − ( ) ( ) [ ( , )] ( ) 1 2 Var X Var Y Cov X Y Var Y ( )[1 ], 2 =Var Y −  由方差Var(Y)>0, 知 1-ρ 2≥ 0, 所以 | ρ |≤1

(2).X和Y独立时，p=0,但其逆不真； 由于当X和Y独立时，CovX,)=0. 所以， Cov(X,Y) =0; Var(X)Var(Y) 但p=O并不一定能推出X和Y独立。 请看下例： @四网

由于当 X 和 Y 独立时，Cov(X, Y)= 0 . 请看下例： (2). X 和Y 独立时, ρ=0，但其逆不真； 但ρ=0 并不一定能推出X和Y独立。 0 ( ) ( ) ( , ) = = ； Var X Var Y Cov X Y  所以

例1：设X,)服从单位D={(化，y小：x2+y2≤1} 上的均匀分布，证明：Pxy=0。 证明： -{ (x,y)D. E(X)=J∬x/πdxdy 2+y2≤1 -x(x =0dw=0, @@的

证明: 例 1：设 (X,Y) 服从单位D={ (x, y): x 2+y 2≤1} 上的均匀分布，证明： XY = 0。      = 0, ( , ) . 1/ , ( , ) , ( , ) x y D x y D f x y  0 0, ( ) / 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 = =       = =     − − − − − − +  d y x d x d y E X x dxdy y y x y  

同样，得E()=0, E(Y)=J∬(xy/r)dd x2+y2≤1 =g〔 =0d=0. 所以，CovX,=EXY)-EXE()=0. 此外，Var)>0,Var(Y)>0. 所以，Pxy=0,即X与Y不相关。 但是，在例3.6.2已计算过：X与不独立

所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 同样，得 E(Y)=0, 0 0. ( ) ( y/ ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 = =       = =     − − − − − − +  d y y xdx d y E X Y x dxdy y y x y   此外，Var(X) > 0, Var(Y) > 0 . 所以，XY = 0，即 X 与 Y 不相关。 但是，在例3.6.2已计算过: X与Y不独立

(3).p=1←→存在常数a,b(b≠0)， 使P{Y=a+bX}=1,即X和Y以概率1 线性相关。 @@的

存在常数a, b(b≠0)， 使 P{ Y = a+bX } = 1 ，即X和Y以概率1 线性相关。 (3). |ρ|=1