北京工业大学：《概率与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 参数估计 §7.1 矩估计 §7.2 极大似然估计

第七章：参数估计 数理统计的任务： ·总体分布类型的判断； 。总体分布中未知参数的推断（参数估计与 假设检验)

第七章: 参数估计 数理统计的任务： ● 总体分布类型的判断； ● 总体分布中未知参数的推断(参数估计与 假设检验)

参数估计问题的一般提法 设总体X的分布函数为F(x,8),其中0 为未知参数或参数向量，现从该总体中抽样， 得到样本 X,X2,.,Xn 依样本对参数0做出估计，或估计参数0的 某个已知函数g(0)。这类问题称为参数估计。 参数估计包括：点估计和区间估计

参数估计问题的一般提法 设总体X的分布函数为F( x, θ )，其中θ 为未知参数或参数向量，现从该总体中抽样, 得到样本 X1 , X2 , . , Xn . 依样本对参数θ 做出估计，或估计参数θ 的 某个已知函数 g(θ ) 。这类问题称为参数估计。 参数估计包括：点估计和区间估计

为估计参数4，需要构造适当的统计量 TX,X2,.,Xn), 一旦当有了样本，就将样本值代入到该统计 量中，算出一个值作为的估计，称该计算 值为u的一个点估计。 @@风

称该计算 值为µ的一个点估计。 为估计参数 µ，需要构造适当的统计量 T(X1 , X2 , . , Xn )， 一旦当有了样本，就将样本值代入到该统计 量中，算出一个值作为µ的估计

寻求估计量的方法 1.矩估计法 2.极大似然法 3.最小二乘法 4.贝叶斯方法。 我们仅介绍前面的两种参数估计法

寻求估计量的方法 1. 矩估计法 2. 极大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法. 我们仅介绍前面的两种参数估计法

§7.1矩估计 矩估计是基于“替换”思想建立起来的 一种参数估计方法最早由英国统计学家K. 皮尔逊提出。 其思想是：用同阶、同类 的样本矩来估计总体矩。 @@网

其思想是: 用同阶、同类 的样本矩来估计总体矩。 矩估计是基于“替换”思想建立起来的 一种参数估计方法。最早由英国统计学家 K. 皮尔逊 提出。 §7.1 矩估计

总体k阶原点矩a=E(X), 样本k阶原点距4=X 总体k阶中心矩b,=可(X-EX)] 样本k阶中心距B=之C《,-X刀， 矩估计就是用相应的样本矩去估计总体矩

矩估计就是用相应的样本矩去估计总体矩。 ( ), k 总 体k 阶原点矩 ak = E X , 1 1  = = n i k k Xi n 样 本 k 阶原点距 A [ ], k 总 体k 阶中心矩 bk = E（X − EX） , 1 1 k n i k Xi X n 样 本k 阶中心距 B = （ − ） =

设总体X的分布函数中含k个未知参数 0,02.,0. 步骤一：记总体X的m阶原点矩E仪为am, m=1,2,.,k. 一般地，am(m=1,2,.,)是总体分布 中参数或参数向量(0,6，.，)的函数。故， 4m(1,2,.,应记成： anm(8,8,0),m=1,2,.,k. @@

设总体X的分布函数中含k个未知参数 , , . 1  2   k 步骤一：记总体X的m阶原点矩E(Xm)为am , m=1,2,.,k. am(1 ,2 ,.,k ), m =1, 2, . , k. 一般地, am (m=1, 2,. , K) 是总体分布 中参数或参数向量(1 ,2 , . ,k )的函数。故, am (m=1,2, . , k) 应记成:

步骤二：算出样本的m阶原点矩 4=2X”,m=12k n i=l 步骤三：令 a(0,02,.,0)=A, a2(8,8,8)=4; (1） az(8,02,.,0)=A 得到关于日，Q,.,0的方程组(L2)。 般要求方程组(1)中有k个独立方程

步骤二：算出样本的m阶原点矩 , 1,2, , . 1 1 X m k n A n i m m =  i =  = 步骤三：令 得到关于1,2, . ,k 的方程组(L≥k)。 一般要求方程组(1)中有k个独立方程。 (1) ( , , , ) . ( , , , ) , ( , , , ) , 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1        = = = L k L k k a A a A a A             

步骤四：解方程组(1)，并记其解为 0n=0n(X,X2,Xnbm=1,2,.,k 则0=(0,0，.，0)就是0=(0,0，0) 的矩估计。 这种参数估计法称为参数的矩估计法， 简称矩法

步骤四：解方程组(1), 并记其解为 ( , , , ) 1,2, , . ˆ ˆ 1 2 X X X m k  m = m  n ， =  ) ( , , , ) ˆ , , ˆ , ˆ ( ˆ 1 2 1 2 的矩估计。 则 =    k 就 是 =    k 这种参数估计法称为参数的矩估计法， 简称矩法

例1：设总体X的概率密度为 (a+1)x,0-1为未知参数。求a的矩估计。 解：先求总体的期望 E(X)=[x.(@+D)x"dx =(a+1)xdx 0+1 0+2 @四的

解：先求总体的期望 E(X ) x ( 1)x d x 1 0  =    + . 2 1 ( 1) d 1 0 1 + + = = +  +     x x 例1：设总体X的概率密度为    +   = 0, . ( 1) , 0 1, ( ) 其 他 x x f x   其中α  −1为未知参数。 求 的矩估计