北京工业大学：《概率与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）§7.5 正态总体的区间估计（二）§7.6 非正态总体的区间估计

§7.5 正态总体的区间估计（二） 在实际应用中，经常会遇到两个正态总 体的区间估计问题。例如：考察一项新技术 对提高产品的某项质量指标的作用，将实施 新技术前的产品质量指标看成正态总体N(4, σ)，实施新技术后产品质量指标看成正态 总体N,2)。 于是，评价新技术的效果问题，就归结 为研究两个正态总体均值之差4山的问题

§7.5 正态总体的区间估计(二) 在实际应用中，经常会遇到两个正态总 体的区间估计问题。 于是，评价新技术的效果问题，就归结 为研究两个正态总体均值之差  1-2的问题。 例如：考察一项新技术 对提高产品的某项质量指标的作用，将实施 新技术前的产品质量指标看成正态总体 N(1 , 1 2 )，实施新技术后产品质量指标看成正态 总体N(2 , 2 2 )

定理1：设X,X2,Xm是抽自正态总体 X的简单样本，X~N(4,o2),样本均值与样 本方差为 m i=l Y,Y,Yn是抽自正态总体Y的简单样本， Y~N(42,2),样本均值与样本方差为 7=Σx、$=nΣ- @回函

定理1：设X1 , X2 , ···, Xm是抽自正态总体 X的简单样本，X～N(1 , 1 2 )，样本均值与样 本方差为 Y1 , Y2 , ···, Yn 是抽自正态总体Y的简单样本， Y～N(2 , 2 2 )，样本均值与样本方差为 ， 2 ； 1 2 1 1 ( ) 1 1 1 X X m X S m X m i i m i i − − =  =  = = ( ) . 1 1 , 1 2 1 2 2 1 Y Y n Y S n Y m i i n i i − − =  =  = =

当两样本相互独立时，有 1-y4-4高 (1) Ⅱ当o7=o=o3,σ未知时， (区-)-(h-）-tn2 (2) Svm+n 其中s2=(m-1)S+(n-10S m+n-2

I. ~ , (1) 2 2 2 1 1 2  ；       − − + m n σ X Y N    ~ . (2) ( ) ( ) II. 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 + − − − + − − − = = m n t S m n X Y   当   ， 未知时， . 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 1 + − − + − = m n m S n S 其 中S 当两样本相互独立时，有

证明：I.由基本定理（见定理6.4.1），知 X~N(4,o1m)Y~N(4,o/n). 由两样本相互独立，灭与7也相互独立。 故，(1)式成立； IⅡ当o2=o7=o2时，S2与S5都是o2 的估计，由基本定理，得 σ2 且二者相互独立。 @四因

的估计，由基本定理，得 当 时 ， 与 2 都 是 2 2 2 1 2 2 2 2 1 II.  = = S S  证明: ~ ( , / ) ~ ( , / ). 2 2 2 2 X N 1 σ1 m ，Y N   n 由两样本相互独立， X 与Y 也相互独立。 I.由基本定理(见定理6.4.1)，知 故，(1) 式成立； 且二者相互独立。 ( 1) ( 1) 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 − ， − ， − − m n ~ χ σ n S ~ χ σ m S

根据x分布的可加性，有 (m-1)S+(n-1)S号 (3) 03 另一方面，当=o=σ时，由1)式，得 -了-(4-2-N0,1), (4) ovm +n 且(3)式与(4)式中的随机变量相互独立。由t 分布的定义，得

另一方面，当1 2 = 2 2 = 2 时 ， 由(1)式，得 根据 2 分布的可加性，有 且(3)式与(4)式中的随机变量相互独立。由t 分布的定义，得 (3) ( 1) ( 1) 2 2 2 2 2 2 1 + − ； − + − m n ~ χ σ m S n S ~ (0, 1) (4) ( ) 1 1 1 2 N ， m n X Y − − + − − −   

N0,1) (x-Y)-(4-4） (X-Y)-(4-4) ovm +n S√m+n 换形式 (X-Y)-(4-4） ovm +n 〔m-1)S2+(n-1)S1 m+n-2 02 分母互换 (X-Y)-(41-4） ovm +n m-1)S+(n-1)S号 ttn-2: (m+n-2) 6 X- m+n-2

1 1 1 2 ( ) ( ) − − + − − − S m n X Y   2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 ( 1) ( 1) ( ) ( )      + − − + − + − − − = − − m n m S n S m n X Y ( 2) ( 1) ( 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 + − − + − + − − − = − − m n m S n S m n X Y     N(0,1) χ 2 m+n-2 2 2 1 1 1 2 ( ) ( )     S m n X Y − − + − − − = 换形式 ~ tm+n -2 . 分母互换

利用该定理，我们可以得到4的置信 系数为1-x的置信区间。 1当o2和均已知时，1)式，得4-4 的置信区间为： -7干a2Va1m)+(o/m: (5) Ⅱ当a2=o但未知时，(2)式，得4-4 的置信区间为： 区-7年inn2(a/2)SVm+n, (6 (m- 1)S+(n-1)S号 (7) m+n-2

利用该定理，我们可以得到 μ1-μ2 的置信 系数为1-α的置信区间。 的置信区间为： 当 和 均已知时 ，由 式， 得 I. (1) 1 2 2 2 2 1   −   ( / ) ( / ) (5) 2 2 2 X −Y  z / 2 1 m +  n ； 的置信区间为： 当 但未知时 ，由 式， 得 II. (2) 1 2 2 2 2 1 =  −   ( / 2)  (6) 1 1 X −Y  t m+n−2  S m − + n − ， . (7) 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 1 + − − + − = m n m S n S S

例1（比较棉花品种的优劣）：假设用甲、乙两 种棉花纺出的棉纱强度分别为XN(1,2.18) 和Y~N(u2,1.762)。试验者从这两种棉纱中分 别抽取样本X1,X2,.,X200和Y,Yz,Y10, 样本均值分别为：X=532,Y=5.76。求4 的置信系数为0.95的区间估计。 解：g=2.18,o=1.76,-200,n=100,a-0.05, 由（⑤）式，得442的置信系数为1-α的置信 区间为 -7年a2V(o1m)+(o/m)]=[0.899,0.019]

例1 (比较棉花品种的优劣)：假设用甲、乙两 种棉花纺出的棉纱强度分别为X～N(1 , 2.182 ) 和Y ～N(2 , 1.762 )。试验者从这两种棉纱中分 别抽取样本 X1 , X2 , . , X200 和 Y1 , Y2 , . , Y100， 样本均值分别为: 求 1-2 的置信系数为0.95的区间估计。 X = 5.32， Y = 5.76。 解: 1=2.18, 2=1.76, m=200, n=100, =0.05, 由(5)式，得1- 2 的置信系数为1-的置信 区间为  ( / ) ( / )   0.899 0.019. 2 2 2 X −Y  z / 2 1 m +  n = −

例2：某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉 水。设这两条流水线所装矿泉水的体积（单位： 毫升)X~N4,2)和Y~N(h2,2)。现从生产 线上分别抽取X,X).,X2和Y,Y2,.,Y17? 样本均值与样本方差分别为： =501.1,S2=2.4Y=499.7,S=4.7 求4142的置信系数为0.95的区间估计。 解：=12，n=17,a=0.05,再由其他已知条 件及()式，可算出 (12-1)×2.4+(17-1)×4.7 1.94 12+17-2

例2：某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉 水。设这两条流水线所装矿泉水的体积 (单位: 毫升) X～N(1 ,  2 ) 和Y～N(2 ,  2 )。现从生产 线上分别抽取X1 , X2 , . , X12和Y1 , Y2 , . , Y17， 样本均值与样本方差分别为: 求 1- 2 的置信系数为0.95的区间估计。 501.1, 2.4 499.7 4.7. 2 2 2 X = S1 = ；Y = ，S = 解：m=12, n=17,  = 0.05，再由其他已知条 件及(7)式，可算出 1.94. 12 17 2 (12 1) 2.4 (17 1) 4.7 = + − −  + −  S =

查t分布表，得tnmm2(a/2)=t270.025)尸2.05. 再由(6)式，得442的置信系数为1-α的置 信区间 里-7+na/2sm+n =「-0.101,2.9011 在这两个例子中，442的置信区间都 包含了零，也就是说：4可能大于山，也可 能小于42·这时我们认为二者没有显著差异

查t分布表，得 tm+n-2 (α /2) = t27(0.025)=2.05. 再由(6)式，得1-2 的置信系数为1- 的置 信区间   [ 0.101 2.901]. ( / 2) 1 1 2 = − ， − + − − + − X Y t S m n  m n  在这两个例子中，1-2 的置信区间都 包含了零，也就是说：1可能大于2，也可 能小于 2。这时我们认为二者没有显著差异