北京工业大学：《概率与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）§3.4 边缘分布 §3.5 条件分布

§3.4边缘分布 3.4.1边缘分布函数 二维随机向量X,)作为一个整体，有分 布函数F(x,y),其分量X与Y都是随机变量， 有各自的分布函数，分别记成Fx)和Fy), 分别称为X的边缘分布函数和Y的边缘分布函 数；称Fx,y)为X,)的联合分布函数

§3.4 边缘分布 3.4.1 边缘分布函数 二维随机向量 (X,Y) 作为一个整体, 有分 布函数 F( x, y)，其分量X与Y 都是随机变量， 有各自的分布函数，分别记成FX (x) 和 FY (y)， 分别称为X的边缘分布函数和Y的边缘分布函 数；称 F(x, y) 为 (X, Y) 的联合分布函数

注意 X与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机 变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数的 是相对于X,)的联合分布而言的。 同样地，X,)的联合分布函数F化，y)是 相对于X,)的分量X和Y的分布而言的。 求法 F(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<oo}=F(x,o), Fy)=P{Yy}=P{X<o,Yy}=F(∞，y)

FX (x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞)， FY (y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y). X与Y的边缘分布函数实质上就是一维随机 变量X或Y的分布函数。称其为边缘分布函数的 是相对于 (X,Y) 的联合分布而言的。 同样地，(X, Y) 的联合分布函数 F(x, y)是 相对于 (X, Y) 的分量X和Y的分布而言的。 注意: 求法

3.4.2二维离散型随机向量的边缘分布 设X,Y)是二维离散型随机向量，联合 概率分布为 P=PX=x,Y=y）)i,j=1,2,. 则X的边缘概率分布为 A.=PX=)=∑Pi=12 Y的边缘概率分布为 卫=0)=ΣB:j=3

则 X 的边缘概率分布为 = ( = ) =  , =1,2,, • p P X x p i j i i i j = ( = ) = , =1,2,. • p P Y y p j i j j i j Y 的边缘概率分布为 设(X, Y ) 是二维离散型随机向量，联合 概率分布为 p = P(X=x ,Y = y ), i, j =1,2,  , i j i j 3.4.2 二维离散型随机向量的边缘分布

例1：求例3.2.1(P59)中X,)的分量X和Y的 边缘分布。 解： 0 7/15 7/30 7130 1/15 =2,7 3010 =X=-2P0 3 15

解： Y X 0 1 0 7/15 7/30 1 7/30 1/15 例1：求例3.2.1(P59)中(X,Y)的分量X和Y的 边缘分布。 , 10 3 15 1 30 7 { } , 10 7 30 7 15 7 { } 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 = = = = + = = = = = + =   = • = • j j j j p P X x p p P X x p

77 n=PY=}=∑Pn=30 1 把这些数据补充到前面表上， 0 Pi 7/15 7/30 7/10 7/30 1/15 3/10 7/10 3/10 T Pi @@风

. 10 3 15 1 30 7 { } , 10 7 30 7 15 7 { } 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 = = = = + = = = = = + =   = • = • i i i i p P Y y p p P Y y p Y X 0 1 pi. 0 7/15 7/30 7/10 1 7/30 1/15 3/10 p.j 7/10 3/10 1 把这些数据补充到前面表上

例2：（打开书P59) 求例3.2.2中(X,)的分量 X和Y的边缘分布。 解：PX=0}=PX=0,Y=-0tP{X=0,Y=1) =0.00013+0.19987 =0.20000, P{X=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1} =0.00004+0.79996 =0.80000, P{Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=0} =0.00013+0.00004 三 0.00017, P{Y=1}=P{X=0,Y=1}+PX=1,Y=1} 0.19987+0.79996 =0.99983

解： 例2： (打开书P59) 求例3.2.2中 (X,Y) 的分量 X和Y的边缘分布。 P{X=0}= P{X=0, Y=0}+P{X=0, Y=1} = 0.00013+0.19987 = 0.20000, P{X=1}= P{X=1, Y=0}+P{X=1, Y=1} = 0.00004+0.79996 = 0.80000, P{Y=0}= P{X=0, Y=0}+P{X=1, Y=0} = 0.00013+0.00004 = 0.00017, P{Y=1}= P{X=0, Y=1}+P{X=1, Y=1} = 0.19987+0.79996 = 0.99983

把这些数据补充到例3.2.2的表中，得 是否患肺癌Y 患肺癌 未患肺癌 X的边缘分布 是否吸烟X Y=0} Y=1} 吸烟{X=0} 0.00013 0.19987 0.20000 不吸烟X=1} 0.00004 0.79996 0.80000 Y的边缘分布 0.00017 0.99983 1 @@风网

把这些数据补充到例3.2.2的表中，得

3.4.2连续型随机向量的边缘概率密度 若化，)的联合概率密度为f化，y),则 X的边缘概率密度为 fx(x)=["f(x,y)dy, Y的边缘概率密度为 f(y)=[f(x,y)dx @@的

3.4.2 连续型随机向量的边缘概率密度 若 (X, Y) 的联合概率密度为 f (x, y)，则 X的边缘概率密度为 Y 的边缘概率密度为 ( ) ( , ) ,   − f x = f x y dy X ( ) ( , ) .   − f y = f x y dx Y

例3：若(X,)服从矩形区域a≤x≤b,c≤y≤d 上均匀分布，则边缘概率密度分别为 fy(y)=d-c y∈[c,d, fx(x)= b-a 0 xa,b]: y c,d]. 注：本例中X与都是服从均匀分布的随机变 量。但对其它非矩形区域上的均匀分布不一 定有上述结论。 四网

例3：若(X,Y)服从矩形区域 a≤x≤b，c≤y≤d 上均匀分布，则边缘概率密度分别为        − = 0, x [a,b]; , x [a,b], b a 1 f (x) X        − = 0, y [c,d]. , y [c,d], d c 1 f (y) Y 注：本例中X与Y都是服从均匀分布的随机变 量。 但对其它非矩形区域上的均匀分布不一 定有上述结论

例4：设(X,)服从单位圆域x2+2≤1上的均 匀分布。求X和的边缘概率密度。 解： (x,)ED. (x,y)￥D 当x>1时， fx (x)=[f(x,y)dy=["Ody=0; @四函

例4：设(X,Y)服从单位圆域 x 2+y 2≤1上的均 匀分布。求X和Y的边缘概率密度。        = 0 ( , ) . ( , ) , 1 ( , ) x y D x y D f x y ， ，  解: 当|x|＞1时, ( ) =  ( , ) =  0 = 0；  −  − f x f x y d y d y X