新疆大学：《概率与数理统计》课程教学资源（作业习题解）综合习题5

综合习题五

1.设抽样得到样本观测值为 38.240.042.437.639.241.044.043.238.840.4 计算样本均值、样本标准茶、样本方差与样本二阶中 心矩。 解：x=∑x=40.5 n i= s-空-)-46%s:462157 i- U=之(x-=4.194

1.设抽样得到样本观测值为 38.2 40.0 42.4 37.6 39.2 41.0 44.0 43.2 38.8 40.4 计算样本均值、样本标准茶、样本方差与样本二阶中 心矩。 ( ) . . ( ) . , . . , . ; 4 194 1 4 66 4 66 2 1587 1 1 40 5 1 2 1 2 2 1 2 2 1 = − = − = = = − = = =    = = = x x n U x nx S n S x n x n i i n i n i i i 解 ：

2.设抽样得到100个样本观测值如下： 观测值 2 5 6 频数 15 21 25 20 12 计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。 解：=之mw=314 S-n2aw-=212 62=2n(60-92=2.1004

2.设抽样得到100个样本观测值如下： 观测值 1 2 3 4 5 6 频数 15 21 25 20 12 7 计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。 ( ) . . ~ ( ) . , . , ( ) ( ) ( ) 2 1004 1 2 121 1 1 3 14 1 2 6 1 2 2 6 1 2 6 1 = − = − = − = = =    = = = n x x n n x x n S n x n x i i i i i i i i i  解 ：

3.从某工厂生产的铆钉中抽取200个，测量铆钉头的直 径，得到频率分布表如下：（略） (1)计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩（计算时 把各个子区间的中点值取作观测值)。 (2)作直方图。 12 解：x= s-2mxw-刘=0.0122l 99 i=1 =3动之ak-到=a0a 12

3.从某工厂生产的铆钉中抽取200个，测量铆钉头的直 径，得到频率分布表如下:(略) (1)计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩(计算时 把各个子区间的中点值取作观测值)。 (2)作直方图。 ( ) . . ~ ( ) . , . , ( ) ( ) ( ) 0 01215 200 1 0 01221 99 1 13 42 200 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 = − = = − = = =    = = = n x x S n x x x n x i i i i i i i i i  解 ：

4.从总体中抽取容量的样本X1,X2,Xm设c为任意常数， k为任意正整数作变换Y,=k(X;-c),i=1,2,n. 证明)X=了/k+c (2)S=S号/k2,其中X及S分别是X,X2,X的样本均值 及样本方差及S分别是Y,Y2,Y的样本均值及样本方羞 证明： r=之x=∑x,-e=3x-k =k-ck,→X=亚/k+c 2s-2-=n2aX-e-线+ 2-国=

及样本方差 及 分别是 的样本均值及样本方差。 其 中 及 分别是 的样本均值 证明： 为任意正整数作变换 从总体中抽取容量为 的样本 ， 设 为任意常数， y n x y x n i i n Y S Y Y Y S S k X S X X X X Y k c k Y k X c i n n X X X c ; , ,., ( ) / , , ,., ( ) / ; , ( ), , ,., . . , ,., 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 4 = = + = − = ( ) . ( ) ( ) [ ( ) ] , / . ( ) [ ( )] . 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x n i i n i i n i y i n i i n i i n i i kX kX k S n k X c kX ck n Y Y n S Y kX ck X Y k c X ck n k k X c n Y n Y − = − = − − + − − = − = = −  = + = = − = −       = = = = = = 证明：

证明： r-2=2X-空x- i 7=kx-ck,→=7/k-C. 2s=n之g- 2X,-e小-+er =x,-=S

( ) . [ ( ) ] ( ) ( ) , / . ( ) [ ( )] . 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 x n i i n i i n i y i n i i n i i n i i kX kX k S n k X c kX ck n Y Y n S Y kX ck X Y k c X ck n k k X c n Y n Y − = − = − − + − = − − = = −  = − = = − = −       = = = = = = 证明：

5.从总体中抽取两组样本其容量分别为1，及n,设两组的 样本均值分别及，样本方差分别及S?,把这两组 样本合并为一组容量+，的联合样本，证明： )联合样本的样本均值=X+m; n1+n2 (2)联合样本的样本方差 s2=-1S+n-0S+ nn2(X1-X2)2 n1+n2-1 (n+n2)(n+n2-l)

. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; , . 1 1 1 1 2 1 5 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 + + − − + + − − + − = + + = + n n n n n n X X n n n S n S S n n n X n X X n n X X S S n n 联合样本的样本方差 联合样本的样本均值 样本合并为一组容量为 的联合样本，证明： 样本均值分别为 及 样本方差分别为 及 ，把这两组 从总体中抽取两组样本，其容量分别为 及 ，设两组的

证明：设从总体中抽两组样本：X1,X2,X1,; X:X=是2XX=2X s=2x,-X八9=m2x-x m-w空，之x 西a空+空 -4X1+n,X2 n1+n2

. ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) . , ,., ; , , , ,., ; 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n X n X X n X n n n n n X X n n X X X n X X S n S X n X X n X X X X X X X n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i n i n + + =  +  + = + + = − − − = − = = =         = = = = = = = = 证明：设从总体中抽取两组样本：

24-空-名以* -a-+-*a*a -仍+，)匹+% (m1+n2)2 =-10S+(2-10S h+n2-1 +g-n到 n1+n2 (41-0S+(2-1)S经+n(区1-X)子 n1+n2-1 （m,+h,-D(h,+n

. ( ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) [ ( ) ] （ 1 2 ） 1 2 ） 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 n n n n n n X X n n n S n S n n n X n X n X n X n n n n n S n S n n n X n X n n n S n S n X n X n n X X n n X n n S n i i n i i + − + − + + − − + − = + + + − + − + + − − + − = + + − + − + − + + + − = + − + + − =   = =

6.设随机变量x,Y,Z相互独立，都服从标証态分布N(O,1), 求随机变量函数=X2+Y+Z的分布函数与概率密度 并验证定理当k=3时成立，即U~x(3). 解：X~N(0,1),Y~N(0,1),Z~N(0,1),现求U的分布函数 F(W=P(U≤W)=P(X2+Y2+Z2≤u (I)当u≤0时，F(W)=0 (2)当u>0时， F,(o)=P(X2+Y2+Z2≤m)=Jj∬f(x,z)ddk x2+y2+z2≤u

~ ( ). . , , ( , ), 1 3 3 6 0 1 2 2 2 2 k U  U X Y Z X Y Z N 并验证定理当 时成立，即 求随机变量函数 的分布函数与概率密度； 设随机变量 相互独立，都服从标准正态分布 = = + + e r drd d r e dr F u P X Y Z u f x y z dxdydz u u F u F u P U u P X Y Z u X N Y N Z N U r u u r x y z u U U U 2 0 2 2 0 0 0 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 − − + +       = = = + +  =   = =  = + +         sin ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ( , ), ~ ( , ) ~ ( , ), / 当 时 ， 当 时 ， ； 解 ： ， 现 求 的分布函数