新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件讲稿）常微分方程课件（习题课）

常微分方程多媒体教学课件 常微分方程习题课课件 习题课一 第一章基本概念 习题课（二）第二章一阶微分方程的初等解法 习题课（三）第三章一阶微分方程的解的存在定理 习题课（四）第四章 高阶微分方程

首页 上页 返回 下页 结束 铃 常微分方程多媒体教学课件 常微分方程习题课课件 习题课（一） 第一章 基本概念 习题课 (二） 第二章 一阶微分方程的初等解法 习题课 (三） 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 习题课 (四） 第四章 高阶微分方程

习题课（一） 前几节主要讲了：1如何根据实际 问题建立数学模型（即常微分方程模 型)，这需要我们已学的知识，同学们要 掌握有关方面的内容.2微分方程的 基本概念（阶数，解，通解，特解等.3 变量分离方程，齐次方程，线性方程的 解法，下面就已学过的内容，先讲解作 业中的有关题，然后再做几个练习. 而 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖ 前几节主要讲了:1 如何根据实际 问题建立数学模型(即常微分方程模 型),这需要我们已学的知识,同学们要 掌握有关方面的内容. 2 微分方程的 基本概念(阶数，解,通解,特解等). 3 变量分离方程,齐次方程,线性方程的 解法,下面就已学过的内容,先讲解作 业中的有关题,然后再做几个练习. 习题课 (一)

习题1.2 4.给定一阶微分方程=2x dx (1)求出它得通解： (2)求出过点(1,4)特解： (3)求出与直线y=2x+3相切得解： (4)求出满足条件y=2得解： (5)绘出(2)，(3)，(4)中的解得图形： 首页 上页 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 习题1.2 1 0 (1) (2) (1, 4) (3) 2 3 : (4) 2 : (5) (2), (3), (4) : 4. 2 y x ydx dy x dx = + = =  求出它得通解: 求出过点 特解 给定一阶微分方 : 求出与直线 相切得解 求出满足条件 得解 绘出 中的解得图形 程

解：(1)显然y=x2+c为通解，其中C为任意常数 (2) 由y(1)=4得通解中的c=3故所求解为y=x2+3 (3) 设y=x2+c与直线=2x+3在(x,)点处相切，则由 题意得： ∫，=2x+3,解得x,=1,。=5 2x=2 从而问题转化为求解初值问题： y dx =2x y(1)=5 的解。解此方程得 =x2十4 页 返回 下万 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 解：（1）显然y x c C = + 为通解，其中 为任意常数. 2 (2) (1) 4 3 3 由y c y x = = = + 得通解中的 故所求解为 ( ) 2 0 0 （3 2 3 , ）设y x c y x x y = + = + 与直线 在 点处相切，则由 从而问题转化为求解初值问题： 2 的解. 解此方程得 y x = + 4 题意得: 0 0 0 2 3 2 2 y x x  = +   = 2 (1) 5 dy x dx y   =    = 0 0 ，解得 x y = = 1, 5

4④j(ax+c=3r +C 由条件兮+0=2得c=号故所求解为：=+月 2.求下列两个微分方程的公共解： (1) y'=y2+2x-x4 (2) y'=2x+x2+x4-y-y2 解： 设y=y(x)为方程(1)和(2)的公共解，则由解的定义 y'(x)=y2(x)+2x-x4 () y'(x)=2x+x2+x4-Jy(x)-y2(x) (2) 首页 上页 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 1 2 3 0 1 (4) ( ) 3 x c dx x c + = +  1 5 5 2 2 3 3 3 由条件 + = = = + c c y x 得 故所求解为： 设y y x = ( ) (1) (2) 为方程 和 的公共解，则由解的定义 2 4 y x y x x x ( ) ( ) 2 (1) = + − 2 4 2 y x x x x y x y x ( ) 2 ( ) ( ) (2) = + + − − 2.求下列两个微分方程的公共解： 2 4 2 4 2 (1) 2 (2) 2 y y x x y x x x y y  = + −  = + + − − 解：

(1)-(2): 2y2(x)-2x4-x2+y(x)=0 即 (y(x)-x2)2y(x)+2x2+1)=0,由此得y(x)=x2或 )=-x2-】,把)=x代入①和2)满足方程， 2 而y=-x2-】不满足方程(1)和(2，故公共解为=x2 3.求微分方程y+y2-y=0的直线积分曲线。 解：设y=心+b(其中，b为常数)为所给方程的解 将y及y'=a代入所给方程得 而 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 4 2 2 ( ) 2 ( ) 0 y x x x y x − − + = 2 2 ( ( ) - )(2 ( ) 2 1) 0 y x x y x x + + = ， 2 由此得 y x x ( ) = 或 2 2 1 ( ) , ( ) 1 2 2 y x x y x x = − − = 把 代入 （ ） 和 （ ） 满足方程， 2 2 1 (2) 2 而y x y x = − − = 不满足方程(1)和 ，故公共解为 设y ax b a b = + (其中 ， 为常数）为所给方程的解 即 (1) (2) : − 2 3. 求微分方程 y xy y   + = - 0的 直线积 分 曲 线。 解： 将 y y a 及  = 代入所给方程得

a"x=ax-a+b (2) 比较(2)两端同次幂的系数，得 解：a=0b=0或a=1b=1 故所求直线方程为y=0或y=x+1 3.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程： (1)曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为. 解：设所求曲线方程为=y(x)，过其上任一点 M(x,y)作切线MT及向径OM如图，则显然o=p-O 首页 上页 返回 下页 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 故所求直线方程为 y y x = = + 0 1 或 （1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为. M x y MT OM （ ， ) - 作切线 及向径 如图,则显然   = 设所求曲线方程为y y x = （ ），过其上任一点 2 a x ax a b = − + (2) 比较（2）两端同次幂的系数，得 a b a b = = = = 0 0 1 1 或 2 0 a a b a  =   − = , 3.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程 ： 解： 解：

记k=tanc=tanx(p-B), 则 k=_ anθ-tanp (1) 1+tan0.tan tan6=X,anp=光 M(,y) 代入(1)得 0 y'. tana= x=xy'-y 1+. x+y 首而 返回 下 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 记 k x = = tan tan ( - ),    则 tan - tan (1) 1 tan . tan k = +     tan , tan y y x   = =  - tan 1 . y y x xy y y x yy y x   − = = +  +   代入（1）得 M x y ( , )  T   x y o

从而，我们得到所求曲线所满足的微分方程： y'=y+ 5.求微分方程的通解。 x-ky 东-(c+n+++8*1 (1) 解：将上试写成： 少=x2+2x+16y2+8y+8y+3 =(x+4y)+2(x+4y)+3(2) 令x+4y=w,则少=（血-1），代入2)整理得 dx 4 dx =42+8u+13 (3 dx 首页 上页 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 从而，我们得到所求曲线所满足的微分方程： 5.求微分方程的通解 . 将上试写成： 2 2 2 16 8 8 3 dy x x y y xy dx = + + + + + ( ) ( ) 2 = + + + + x y x y 4 2 4 3 （2） 1 ( 4 2) dy du dx dx 则 = （ -1），代入 整理得 2 4 8 13 (3) du u u dx = + + ( ) ( ) 2 2 1 4 1 8 1 dy x y xy dx = + + + + + （1） - y kx y x ky +  = 令x y u + = 4 ， 解：

分离变量积分」 du =x+C 4u2+8u+13 du 2(u+1) -arctan 3 arctan 2u+0=6x+6c, 回到(x,y)变量， 整理 3 得(1)的通解为 tan(6x+c)=子(c+4y+1) 其中c为任意常数， 6.求解微分方程 少_y-2x2 (1) dx 2.9y5+x2y2 而 而 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 4 8 13 du x c u u = + + + 分离变量积分： 2 2 2 1 1 1 2( 1) arctan 4 8 13 4 6 3 3 ( 1) ( ) 2 du u du u u u + = = + + + +   2( 1) arctan 6 6 3 u x c + = + , ( ) ( ) 2 tan 6 4 1 3 x c x y + = + + 其中c为任意常数. 6.求解微分方程 6 2 5 2 2 2 (1) 2 dy y x dx xy x y − = + 回到（x y, ）变量，整理 得（1）的通解为