新疆大学：《概率与数理统计》课程教学资源（作业习题解）综合习题4

综合习题四

1.设随机变量x~N(5,22),且P(X>c)=P(X≤c), 求c的值；又若P(Xc)=P(X≤c) 则1-P(X≤c)=P(X≤c)→P(X≤c)=0.5, 印心}-在表得生e5 因为rX<o=以即：=09， 查衣得“号-128。=65 函国D☒

求 的值；又若 求 的值。 设随机变量 且 c P X a a X N P X c P X c ( ) . , . ~ ( , ), ( ) ( ), 0 9 1 5 2 2  =  =  . . . ( ) . , . . , . ( ) ( ) ( ) . , ( ) ( ) 1 28 7 65 2 5 0 9 2 5 0 9 0 5 2 5 0 5 2 5 1 0 5 = = −  =      −  = = = −  =      − −  =    =  =  a a a P X a c c c P X c P X c P X c P X c P X c 查表得 ， 因 为 即 。 即 查表得 ， 则 解：因为  

2.设随机变量X~N(0,1),借助标准正态分布表 计算下列概率1)P(X1.76); (3)P(X1.76)=1-P(X≤1.76) =1-0.9608=0.0392; (3)P(X<-1.79)=Φ(-1.79) =1-Φ(1.79)=0.0367； (4)P0X<1.55)=P(-1.55<X<1.55) =D(1.5)-(-1.5)=,8788

( ) ( . );( ) (| | . ). ( ) ( . );( ) ( . ); . ~ ( , ), 3 1 79 4 1 55 1 2 2 2 1 76 2 0 1  −    P X P X P X P X X N 计算下列概率。 设随机变量 借助标准正态分布表 ( . ) ( . ) . . ( ) (| | . ) ( . . ) ( . ) . ; ( ) ( . ) ( . ) . . ; ( ) ( . ) ( . ) ( ) ( . ) . ; 1 55 1 55 0 8788 4 1 55 1 55 1 55 1 1 79 0 0367 3 1 79 1 79 1 0 9608 0 0392 2 1 76 1 1 76 1 2 2 0 9861 = − − =  = −   = − =  − = − = − =  = −   =     P X P X P X P X P X 解 ： P X

3.设随机变量x~N(-1,16,计算下列概率：(1)P(X-1.5);(3)P(XK4);(4)P(-5-1.5)=1-P(X≤-1.5) -1-5-sn8 aIxK=）a） =Φ(1.25)-Φ(-1.25)=0.6678； -5<X<2=©2生5=1野

( ) ( . );( ) (| | );( ) ( ). . ~ ( , ), :( ) ( . ); 2 1 5 3 4 4 5 2 3 1 16 1 2 44  −  −   −  P X P X P X 设随机变量X N 计算下列概率 P X ( ) ( ) . . ( . ) ( . ) . ; ( ) (| | ) . ; . ( ) ( . ) ( . ) ( . ) . ; . ( ) ( . ) 0 6147 4 5 1 4 2 1 4 5 2 1 25 1 25 0 6678 4 4 1 4 4 1 3 4 0 5478 4 1 5 1 1 2 1 5 1 1 5 0 86 0 8051 4 2 44 1 1 2 44  =      − +  −      + −   = = − − =       − +  −      +  =  =      − + = −  − = −  −  = =      +  =          P X P X P X P X 解 ： P X

4.测量某一目标的距离时测量误~N(0,402) (单位：m),(1)求测量误差的绝对值超过30m的概 率；(2)若作三次独立测量，至少有一次误差的绝 对值不超过30m的概率。 解：()P0XK30)=① =2Φ(0.75)-1=0.5468； (2)设A=“作三次独立测量，至尟有一次误差的绝 对值不超过虫0m”,则 P0X>30)=1-P(0X≤30)=0.4532， P(A)=1-[P(0X>30)3=0.907

对值不超过 的概率。 率 ； 若作三次独立测量，求至少有一次误差的绝 单位： 求测量误差的绝对值不超 过 的 概 测量某一目标的距离时，测量误差 m m m X N 30 2 1 30 4 0 402 ( ) ( ),( ) . ~ ( , ) ( ) [ (| | )] . . (| | ) (| | ) . , , ( ) ( . ) . ; ( ) (| | ) 1 30 0 907 30 1 30 0 4532 30 2 2 0 75 1 0 5468 40 30 40 30 1 30 3 = −  =  = −  = = = − =        − −       = P A P X P X P X m A P X 对值不超过 ”则 设 “作三次独立测量，至少有一次误差的绝 解 ：   

5.设成年男子身高~N(170,102)(单位：cm),(1)求成年 男子身高大于160cm的概率：(2)公共汽车车门应设计高， 才能使男子碰头的机会于0.05. 解：(1)P(X>160)=1-P(X≤160) 0.8413; (2)设车门应设计的高度（单位：cm),则 P(X>h)<0.05→1-P(X≤h)<0.05 P05.56m

. . ( ) . ~ ( , )( ),( ) 0 05 160 2 5 170 10 1 2 才能使男子碰头的机会小 于 男子身高大于 的概率； 公共汽车车门应设计多高 ， 设成年男子身高 单位： 求成年 cm X N cm ( ) . , . , . ( ) . ( ) . ( ) ( ), . ; ( ) ( ) ( ) h cm h P X h P X h P X h h cm P X P X 0 95 186 10 170 0 95 0 05 1 0 05 2 0 8413 10 160 170 1 1 160 1 160   =      −      −    =      − = −  = −    即 设车门应设计的高度为 单位： 则 解 ：

6.加工某种零件，若采肛艺4，则完成时间X~N(40,102)； 若采用工艺B,则完成时间X~N(50,4)(单位：mim。问： (1)若允许加工备0mi内完成，应选用何种艺？ (2)若允许加工在0min内完成，应选用何种艺。 0P.0<Xx60=e909） Φ(2)=0.9772， P0<X<60=叫0：-25=0938故采用工艺 2,0<X<50=0.0-0)=84 X<0=",09）- ①(0)=0.5.故采用工艺4

若允许加工在 内完成，应选用何种工艺 。 若允许加工在 内完成，应选用何种工艺 若采用工艺 ，则完成时间 单位： 。问： 加工某种零件，若采用工 艺 ，则完成时间 ； ( ) min ( ) min ? ~ ( , )( min) . ~ ( , ) 2 50 1 60 50 4 6 40 10 2 2 B X N A X N ( ) ( ) . . . ( ) ( ) ( ) . , ( ) ( . ) . . . ( ) ( ) ( ) . , P X A P X P X B P X B A B A 故采用工艺 故采用工艺 解 ： 0 0 5 4 50 50 0 50 1 0 8413 10 50 40 2 0 50 2 5 0 9938 4 60 50 0 60 2 0 9772 10 60 40 1 0 60  = =      −   =  = =      −   =  = =      −   =  = =      −   =        

7.设X1,X2,X,相互独立，都服从正紛布N(4,o2) 证明： y-2x- 证明：由定理3知，服从正态分布。因为 X,~N(4,o2),i=1,2,n.E(X,)=4,D(X,)=o2 则E=2X)=2X)=4 Dm=D2x)=2x)-号 所以Y=之xN

~ , . . , ,., ( , ),         = = n X N n Y X X X N n i i n 2 1 2 1 2 1 7     证明： 设 相互独立，都服从正态分 布 , ~ ( , ). ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) , ~ ( , ) , ,., . ( ) , ( ) . n X N n Y n D X n X n D Y D E X n X n E Y E X N i n E X D X 3 Y n i i n i i n i i n i i n i i i i i 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2              = = = = = = = = = = = = = = = 所 以 则 ， 证明：由定理 知 ， 服从正态分布。因为

8.设X~N(1,2),Y~N(10,1)且X与Y独立。令Z=2X Y+3,求E(亿☑，D(Z,并写出Z的概率密度。 解：根据正态分布的频知Z服从正态分布N(4,σ) 而 4=E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=-5, o2=D(Z)=4D(X)+D(Y)=9, 故Z~N(-5,9),且它的概率密度为 -(2+5)2 f(z)= e 18,乙∈R 3√2π

8.设X～N(1,2),Y～N(10,1)且X与Y独立。令Z=2X￾Y+3，求E(Z),D(Z),并写出Z的概率密度。 f z e z R Z N D Z D X D Y E Z E X E Y Z N z =  − = = + = = = − + = − + − ( ) , ~ ( , ), ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( , ), ( ) 1 8 5 2 2 2 3 2 1 5 9 4 9 2 3 5      故 且它的概率密度为 而 解：根据正态分布的性质 知 服从正态分布

9.设随机变量x~N(0,I),Y=X",求X与Y的方差 解： Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) -EX)- 0,n为奇数， n,n为偶数。 网国I

9.设随机变量X ~ N(0,1),Y = X n ,求X与Y的方差。    = = = − + ， 为偶数。 ， 为奇数， 解 ： n n n E X X Y E XY E X E Y n !! ( ) cov( , ) ( ) ( ) ( ) 1 0