北京工业大学：《概率与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）§1.4 条件概率

§1.4条件概率 1.4.1 条件概率 1.条件概率的概念 在实际问题中，除了要考虑某事件A的概率 P(A外，有时还要考虑在“事件B已经发生” 的条件下，事件A发生的概率。 通常记事件B发生的条件下，事件A发生的 概率为PAB)。 般情况下，P(AB)PA)

在实际问题中, 除了要考虑某事件A的概率 P(A)外，有时还要考虑在“事件B已经发生” 的条件下，事件A发生的概率。 1.4.1 条件概率 I. 条件概率的概念 通常记事件B发生的条件下, 事件A发生的 概率为 P(A|B)。 一般情况下， P(A|B) ≠P(A) 。 §1.4 条件概率

例1：100件产品中有5件不合格品，而5件不合 格品中又有3件是次品，2件是废品。现从100 件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到 的可能性都相同，求 (1).抽到的产品是次品的概率； (2).在抽到的产品是不合格品条件下，产品是 次品的概率。 解： 设A={抽到的产品是次品}， B={抽到的产品是不合格品}。 (1).按古典概型计算公式，有 3 P(A)= 100

例1：100件产品中有5件不合格品，而5件不合 格品中又有3件是次品，2件是废品。现从100 件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到 的可能性都相同，求 (1).抽到的产品是次品的概率； (2).在抽到的产品是不合格品条件下, 产品是 次品的概率。 解： 设 A={抽到的产品是次品}， B={抽到的产品是不合格品}。 (1). 按古典概型计算公式，有 ; 100 3 P(A) =

(2).由于5件不合格品中有3件是次品，故可得 3 P(A B)= 5 可见，P4)AB)。 虽然P()与P(AB)不同，但二者之间存 在什么关系呢？ 先来计算P(B)和P(AB)。 因为100件产品中有5件是不合格品，所以 P(B)=5/100

可见，P(A) ≠P(A|B)。 (2). 由于5件不合格品中有3件是次品，故可得 虽然 P(A) 与 P(A|B) 不同，但二者之间存 在什么关系呢? 先来计算P(B)和P(AB)。 . 5 3 P(A| B) = 因为100件产品中有5件是不合格品，所以 P(B)=5/100

而P(AB)表示事件“抽到的产品是不合格品、 又是次品”的概率，再由100件产品中只有3件 即是不合格品又是次品，得 P(AB)=3/100。 通过简单运算，得 4-i 33 5 P(AB) 00100 P(B) 有 P(A B)= P(AB) P(B) @@网

P(AB)=3/100。 而P(AB)表示事件“抽到的产品是不合格品、 又是次品”的概率，再由100件产品中只有3件 即是不合格品又是次品，得 通过简单运算，得 . ( ) ( ) 100 5 100 3 5 3 ( | ) P B P AB P A B = =  = 有 . ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B =

又如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}，P(A)=1/6,求P(4B)。 已知事件B发生，此时试验所 掷骰子 有可能结果构成的集合就是B。 B中共有3个元素，每个元素出现 是等可能的，且其中只有1个(2点) 在集合A中。于是，PAB)=13。 可以得到：P(AB)= 1 16 P(AB) 33/6P(B) 受此启发，对条件概率进行如下定义

P(A)=1/6， 又如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， 求P(A|B)。 已知事件B发生，此时试验所 有可能结果构成的集合就是B。 于是，P(A|B)= 1/3。 B中共有3个元素，每个元素出现 是等可能的，且其中只有1个(2点) 在集合A中。 可以得到： . ( ) ( ) 3 6 1 6 3 1 ( | ) P B P AB P A B = = = 受此启发，对条件概率进行 如下定义

Ⅱ.条件概率定义 定义1：设A、B是两个事件，且P(B)>0,称 P(A B)= P(AB) P(B) 为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。 若事件B已发生，则为使 A也发生，试验结果必须是既 B 在B中又在A中的样本点，即 ABA 此点必属于AB。由于我们已 经知道B已发生，故B就变成 了新的样本空间，于是就有(1)。 容四的

若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB。 由于我们已 经知道B已发生, 故B就变成 了新的样本空间 , 于是 就有(1)。 II. 条件概率定义 为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。 定义1: 设A、B是两个事件，且P(B)>0，称 (1) ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B =

Ⅱ.条件概率的性质 设B是一事件，且PB)>0,则 1.对任一事件A,0P4B)≤1； 2.P(2B)=1; 3.设41，A2.互斥，则 P(AUAU)川B)=P(A|B)+P(A|B)+. 而且，前面对概率所证明的一切性质，也都 适用于条件概率

III. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)>0, 则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P(Ω|B)=1； 而且，前面对概率所证明的一切性质，也都 适用于条件概率。 3. 设A1 , A2 ,.互斥，则 P((A1  A2 )| B)) = P(A1 | B) + P(A2 | B) +

例2：有外观相同的三极管6只，按电流放大系 数分类，4只属甲类，两只属乙类。不放回地抽 取三极管两次，每次只抽一只。求在第一次抽 到是甲类三极管的条件下，第二次又抽到甲类 三极管的概率。 解：记A={第i次抽到的是甲类三极管，1,2， A1A2={两次抽到的都是甲类三极管}， 由第2讲中的例1.33，可知 P(AA)=12/30=2/5. 再由P4)=4/6=23,得 2/53 P(4|4)= P(A4) P(A)

例2：有外观相同的三极管6只，按电流放大系 数分类,4只属甲类, 两只属乙类。不放回地抽 取三极管两次, 每次只抽一只。求在第一次抽 到是甲类三极管的条件下, 第二次又抽到甲类 三极管的概率。 解:记Ai= {第 i 次抽到的是甲类三极管}, i=1,2, A1A2={两次抽到的都是甲类三极管}, 由第2讲中的例1.3.3，可知 ( ) 12/30 2/5. P A1 A2 = = 再由P(A1 )=4/6=2/3，得 . 5 3 2/3 2/5 ( ) ( ) ( | ) 1 1 2 2 1 = = = P A P A A P A A

1.4.2乘法公式 由条件概率的定义：P(A|B)= P(AB) P(B) 在已知P(B),P(4B)时，可反解出PAB)。 即若PB)>0,则PAB)=P(B)PAB), (2) (2)和(3)式都称为乘法公式，利用 它们可计算两个事件同时发生的概率。 故P4)>0,则PAB)=P(A)P(BA)

由条件概率的定义： 即 若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2) , ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = 而 P(AB) = P(BA)， 1.4.2 乘法公式 在已知P(B), P(A|B)时, 可反解出P(AB)。 将 A、B的位置对调，有 故 P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A) 。 (3) 若 P(A)>0, 则P(BA)=P(A)P(B|A)

多个事件乘法公式的推广： 当PA1A2Ai)>0时，有 P (AA2.A) =P(A1)P(A2A1).P(A A42.A). @@网

当 P(A1A2.An-1 ) > 0 时，有 P (A1A2.An） = P(A1 ) P(A2 |A1 ) .P(An | A1A2.An-1 ) . 多个事件乘法公式的推广: