北京工业大学：《概率与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）§1.5 事件的独立性 §2.1 随机变量

§1.5事件的独立性 1.5.1两事件的独立 先看一个例子：将一颗均匀骰子 连掷两次，设 A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}， 显然，有P(AB)=P(A). 这就是说：事件B发生，并不影响事件A 发生的概率。这时，称事件A与B相互独立， 简称独立

显然，有 P(A|B)=P(A). 这就是说：事件B发生，并不影响事件A 发生的概率。这时，称事件A与B相互独立， 简称独立。 1.5.1 两事件的独立 A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}， 先看一个例子：将一颗均匀骰子 连掷两次，设 §1.5 事件的独立性

由乘法公式知，当事件A与B独立时，有 P(AB)=P(A)P(B). 用P(AB)=P(A)PB)刻画独立性，比用 P(A B)=P(A)P(BA)=P(B) 更好。 。不受PB)>0或P(A)>0的制约； 。反映了事件A与B的对等性。 @@的

由乘法公式知，当事件A与B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B). 用 P(AB)=P(A) P(B) 刻画独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好。 ◎ 不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约； ◎ 反映了事件A与B的对等性

两事件独立的定义 定义1：若两事件A,B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，或称A,B独立。 @@风

定义1：若两事件A, B满足 P(AB)= P(A) P(B), 则称 A与B 相互独立，或称A, B 独立。 两事件独立的定义

例1：从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记A={抽到K},B={抽到黑色的牌}。 问事件A,B是否独立？ 解：由于P4)=4/52=1/13, PB)=26/52=1/2,PAB)=2/52=1/26。 故，PAB)=P(A)P(B). 这说明事件A,B独立

例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。 故, P(AB) = P(A)P(B). 解：由于 P(A) = 4/52 = 1/13, 这说明事件A, B独立。 问事件A, B是否独立？ P(B) = 26/52 = 1/2，P(AB) = 2/52 = 1/26

前面是根据两事件独立的定义得出A,B独 立的结论，我们也可以通过计算条件概率的办 法得到A,B独立的结论。 续前例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记A={抽到K},B={抽到黑色的牌}。 由于P4)=1/13,P(4B)=2/26=1/13, 故，P4A=P(AB)。这也说明A,B独立。 在实际应用中，往往根据问题的实际意义 判断两事件是否独立

前面是根据两事件独立的定义得出A, B独 立的结论，我们也可以通过计算条件概率的办 法得到 A, B独立的结论。 续前例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。 在实际应用中, 往往根据问题的实际意义 判断两事件是否独立。 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13， 故，P(A)= P(A|B)。 这也说明A, B独立

如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 A,={第i件是合格品}，=1,2。 若抽取是有放回的，则A,与A,独立。 其原因是：第二次抽取的结果不受第一次抽取 结果的影响。 若抽取是无放回的，则4，与A2不独立。 其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结 果的影响

如：一批产品共n 件，从中抽取2件，设 Ai = {第 i 件是合格品}， i=1,2。 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。 其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结 果的影响。 其原因是: 第二次抽取的结果不受第一次抽取 结果的影响。 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立

请问：如图的两个事件是否独立？ 我们来计算： 因PAB)=0, 而PA)卡0，P(B)≠0。 即PAB)≠P(A)P(B)。 故A与B不独立。 即：若A、B互斥，且PA)>0,P(B>0,则A 与B不独立。 其逆否命题是：若A与B独立，且PA)>0, P(B)>0,则A与B一定不互斥。 @@

请问：如图的两个事件是否独立？ 即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则 A 与B不独立。 其逆否命题是：若A与B独立，且P(A)>0, P(B)>0, 则 A与B一定不互斥。 而 P(A) ≠ 0, P(B) ≠0。 故 A与B不独立。 我们来计算： 因P(AB)=0, 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)

请问：能否在样本空间2中找到两个事件， 它们既相互独立又互斥？ 答：能。 因为QΦ=Φ，且 P(2Φ)=P(2)·P(Φ)=0， 所以，Φ与2独立且互斥。 不难发现：Φ（或Ω）与任何事件都独立

请问：能否在样本空间Ω中找到两个事件， 它们既相互独立又互斥? 所以，Φ与Ω独立且互斥。 因为 = ，且 不难发现: Φ(或Ω)与任何事件都独立。 P() = P() P() = 0, 答：能

前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 请看下列两个练习。 设A,B为互斥事件，且P4)>0,PB)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1.PB4>0, 2.P(A B)=P(A), 3.P(AB)=0, 4.PAB)=PA)P(B)。 设A,B为独立事件，且P(4>0,PB)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1.P(BA)>0, 2.P4B)=P4∠ 3.P4B)=0, 4.P(AB)=P(A)P(B @@

设A, B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 请看下列两个练习。 1. P(B|A)>0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0， 4. P(AB)=P(A)P(B)。 设A, B为独立事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0， 2. P(A|B)=P(A)， 3. P(A|B)=0 ， 4. P(AB)=P(A)P(B)

定理1：若事件A,B独立，则 A与B,A与B,A与B弛相互独立。 证明：仅证A与B独立。 概率的性质 P(A B=P(A-A B) =P(A)-P(AB) A与B独立 =P(A)-P(A)P(B) =P(A)[1-P(B)] =P(A)P(B), 故，A与B独立。 @四的

= P(A) － P(AB) P(A B )= P(A－ A B) A与B独立 = P(A) － P(A) P(B) 证明: 仅证A与 B 独立。 定理1：若事件A, B独立，则 A与B, A与B, A与B 也相互独立。 = P(A)[1 － P(B)] = P(A)P( ), B 故，A与B 独立