北京工业大学：《概率与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 数字特征 §4.1 数学期望

前面讨论了随机变量及其分布。如果我 们知道了随机变量X的概率分布，那么，关 于X的全部概率特征也就知道了。 然而，在实际问题中，概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中，我们并不需 要知道随机变量的所有性质，只要知道其一 些数字特征就够了。 因此，在对随机变量的研究中，确定随 机变量的某些数字特征是非常重要的。 最常用的数字特征是：期望和方差

前面讨论了随机变量及其分布。 如果我 们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关 于 X 的全部概率特征也就知道了。 然而，在实际问题中，概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中，我们并不需 要知道随机变量的所有性质，只要知道其一 些数字特征就够了。 因此，在对随机变量的研究中，确定随 机变量的某些数字特征是非常重要的。 最常用的数字特征是：期望和方差

第四章 数字特征 §4.1 数学期望 4.1.1离散型随机变量的数学期望 概念引入： 某车间对工人生产情况进行考察，车工 小张每天生产的废品数X是一个随机变量。 如何定义X的平均值？

4.1.1 离散型随机变量的数学期望 概念引入： 某车间对工人生产情况进行考察，车工 小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。 如何定义 X 的平均值？ §4.1 数学期望 第四章 数字特征

若统计了100天小张生产产品的情况，发现： 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。 可以得到这100天中每天的平均废品数为 32 +1.30 17 21 +2,7+3.21 =1.27 100 100 100 100

若统计了100天小张生产产品的情况，发现： 1.27. 100 21 3 100 17 2 100 30 1 100 32 0 +  +  +  = 可以得到这100天中每天的平均废品数为 32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品

可以想象：若另外再统计100天，其中不出废 品，出一件、二件、三件废品的天数与前面 的100天一般不会完全相同，即另外100天每 天的平均废品数也不一定就是127。 般来说，若统计了天 no天没有出废品； (假定每天至多出三件废品) n天每天出一件废品； n2天每天出两件废品； n3天每天出三件废品. 可以得到这天中，每天的平均废品数为 02+1+22+3%

可以想象：若另外再统计100天，其中不出废 品，出一件、二件、三件废品的天数与前面 的100天一般不会完全相同，即另外100天每 天的平均废品数也不一定就是1.27。 n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品. n n n n n n n n0 1 2 3 0 +1 + 2  + 3 可以得到这n天中，每天的平均废品数为 (假定每天至多出三件废品) 一般来说, 若统计了n天

0.+1.+2.+3.% 这是以频率为 n n n 权的加权平均 由频率与概率的关系， 不难想到：求废品数X的平 均值时，用概率替代频率， 得平均值为： 这是以概率为 0p+1p+2P2+3p3 权的加权平均 这样，就得到一个确定的数 随机变量X的期望均值)

这是以频率为 权的加权平均 n n n n n n n n0 1 2 3 0 +1 + 2  + 3 由频率与概率的关系， 不难想到：求废品数X的平 均值时，用概率替代频率， 得平均值为： 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3  +  +  +  这是以概率为 权的加权平均 这样，就得到一个确定的数 ——随机变量X的期望(均值)

定义1：设X是离散型随机变量，概率分布为 PX=x}=Pk,k=1,2,。 如果 ∑P有限， 则称 k=1 E(X)= n 为X的数学期望或均值)。 也就是说：离散型随机变量的数学期望 是一个绝对收敛的级数和。 @@

定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为 P{X=xk }=pk , k=1,2, .。 也就是说：离散型随机变量的数学期望 是一个绝对收敛的级数和。   = = 1 ( ) k k pk E X x   =1 | | k 如果 xk pk 有限, 则称 为X 的数学期望(或均值)

在X取可列无穷个值时，级数绝对收敛 可以保证“级数之值不因级数各项次序的改 排而发生变化”，这样E()与取值的人为 排列次序无关。 例1：有4只盒子，编号为1,2,3,4。现有3个 球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。 用X表示其中至少有一个球的盒子的最小号 码，卫()。 解：首先求X的概率分布。X所有可能取的 值是1,2,3,4。{X=计表示号盒中至少有 个球，=1,2,3,4

在X 取可列无穷个值时，级数绝对收敛 可以保证“级数之值不因级数各项次序的改 排而发生变化”，这样E(X)与X取值的人为 排列次序无关。 例1： 有4只盒子，编号为1, 2, 3, 4。现有3个 球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。 用X 表示其中至少有一个球的盒子的最小号 码，E(X)。 解：首先求X 的概率分布。X 所有可能取的 值是1, 2, 3, 4。{X=i} 表示i号盒中至少有一 个球，i=1, 2, 3, 4

为求PX=1,考虑{X=1}的对立事件： {1号盒中没有球}，其概率为(3/4)3，因此 PX=1g=1-3-49-3 43 X=2}表示{1号盒中没有球，而2号盒中至少 有一个球}，类似地得到： 33-2 P{X=2} Px= PX=4}= 13

为求 P{X=1}，考虑 {X=1} 的对立事件： {1号盒中没有球}，其概率为(3/4)3，因此 ； 4 4 3 4 3 { 1} 1 3 3 3 3 3 − P X = = − = {X=2} 表示 {1号盒中没有球，而2号盒中至少 有一个球}，类似地得到： ； 4 3 2 { 2} 3 3 3 − P X = = . 4 1 , { 4} 4 2 1 { 3} 3 3 3 3 3 = = − P X = = P X

于是， E(X)=1× 24 43+2x 43 25 16 @四风

于是， . 16 25 4 1 4 4 2 1 3 4 3 2 2 4 4 3 ( ) 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = +  − +  − +  − E X = 

常用离散型随机变量的数学期望 1.两点分布：X~B(1,p),0<p<1,则 E=1×p+0×(1-p)=p. 二项分布：X~B(n,p),其中0<p<1, 则 E(X)=np. @@网

1.两点分布：X ∼ B(1, p), 0 < p < 1，则 E(X)= 1p + 0(1-p) = p . 常用离散型随机变量的数学期望 2.二项分布：X ∼ B(n, p)，其中 0 < p < 1， 则 E(X) = np