新疆大学：《概率与数理统计》课程授课教案（PPT教学课件）第二章 随机变量及其分布 第4节 连续型随机变量的概率密度

§4连续型随机变量的概率密度 概率密度及其性质 指数分布 均匀分布 正态分布与标准正态分布 [合】返回主目录

§4 连续型随机变量的概率密度 概率密度及其性质 指数分布 均匀分布 正态分布与标准正态分布 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 一.连续型随机变量的概念与性质 定义 如果对于随机变量X的分布函数F(x), 存在非负函数f(x),使得对于任意 实数x,有F(x)=,f()dt, 则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称 为X的概率密度函数，简称概率密度 连续型随机变量X由其密度函数唯一确定. 合】返回主目录

一.连续型随机变量的概念与性质 §4 连续型随机变量的概率密度 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)， 存在非负函数 f (x)，使得对于任意 实数 x，有 则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称 为X 的概率密度函数,简称概率密度. − = x F(x) f (t)dt, 连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定． 返回主目录

§4 连续型随机变量的概率密度 由定义知道，概率密度x)具有以下性质： 1°f(x)≥0. f(x) 2°f(xk=1 合】返回主目录

§4 连续型随机变量的概率密度 由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质： 1 ( ) 0. 0 f x  2 ( ) 1. 0 =   − f x dx f (x) 0 x 1 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 3°P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1) 个f(x) =fx)(:≤x) 0x1 X2 x 4°若f(x)在点x处连续，则有 F'(x)=f(x): 合】返回主目录

( ) .( ) 3 { } ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 0 2 1 f x dx x x P x X x F x F x x x =    = −  f (x) 0 x 1 x 2 x ( ) ( ). 4 ( ) 0 F x f x f x x  = 若 在点 处连续，则有 §4 连续型随机变量的概率密度 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 注意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变 量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是 概率！ 我们不能认为：P{x=a=f(a! 连续型随机变量的一个重要特点 设X是连续型随机变量，则对任意的实数α， 有 P(X-aj-0 合返回主目录

注 意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变 量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是 概率！ 我们不能认为： PX = a= f (a) ！ §4 连续型随机变量的概率密度 设X 是连续型随机变量，则对任意的实数a， 有 PX = a= 0 连续型随机变量的一个重要特点 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 证明： b{X=} =西刘 =1mjf(=0 所以有 P{x=a}=0 合】返回主目录

PX = a       = −   → X a n P a n 1 lim §4 连续型随机变量的概率密度 证明： 所以有 PX = a= 0  ( ) = 0 − → = a a n n f x dx 1 lim 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 说明 (1).由上述性质可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题. 若已知连续型随机变量X的密度函数为f(x), 则X在任意区间G(G可以是开区间，也可以是 闭区间，或半开半闭区间；可以是有限区间， 也可以是无穷区间)上取值的概率为， P(X EG)=f(x)dx G 合】返回主目录

说 明 ⑴．由上述性质可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题． §4 连续型随机变量的概率密度 若已知连续型随机变量X的密度函数为f (x)， 也可以是无穷区间）上取值的概率为， 闭区间，或半开半闭区间；可以是有限区间， 则X 在任意区间G（G可以是开区间,也可以是   ( )   = G P X G f x dx 返回主目录

§4连续型随机变量的概率密度 例1 设X是连续型随机变量，其密度函数为 w-,2e 其它 求：(1).常数c; (2.P{X>1 解： (1).由密度函数的性质 ∫fk=1 合】返回主目录

例 1 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 ( ) ( )    −   = 0 其它 4 2 0 2 2 c x x x f x 解： ⑴．由密度函数的性质 求：⑴．常数c； ⑵．PX 1． ( ) =1  + − f x dx §4 连续型随机变量的概率密度 返回主目录

§4 连续型随机变量的概率密度 例1（续） 得1-=je达=j+j/ek+jreh -fcas-2s )-dx 所以， P .P>-fw=jra+jrk [合】返回主目录

例 1（续） ( )  + − 得 1 = f x dx ( )  = − 2 0 2 c 4x 2x dx 2 0 2 3 3 2 2       = c x − x c 3 8 = 8 3 所以， c =   ( )  +  = 1 ⑵．P X 1 f x dx ( ) ( )   + = + 2 2 1 f x dx f x dx ( ) ( ) ( )    + − = + + 2 2 0 0 f x dx f x dx f x dx §4 连续型随机变量的概率密度 返回主目录

§4 连续型随机变量的概率密度 例1（续) -J3Ax-2x- 合】返回主目录

例 1（续） ( )  = − 2 1 2 4 2 8 3 x x dx 2 1 2 3 3 2 2 8 3       = x − x 2 1 = §4 连续型随机变量的概率密度 返回主目录