新疆大学：《概率与数理统计》课程教学资源（作业习题解）综合习题1

综合习题一

1.写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本 点： (1)同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和。 A-”点数之和大于10”，B-”点数之和小于15”。 。 解：2=3,4,5.，18，A=11,12,13,18},B=3,4,5,149 (2)一盒中由5只外形相同的电子元件，分别标有号码 1,2,3,4,5。从中任取3只，A-”最小号码为1”。 解：2=1,2,3)，(1,2,4(1,2,5)，(1,3,4(1,3,5，(1,4,5) (2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5 A=1,2,3,(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)月 ●

1.写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本 点： （1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和。 A-”点数之和大于10” ，B-”点数之和小于15” 。 解：  = { 3,4,5,.,18 } ,A = { 11,12,13,.,18 } ,B = { 3,4,5,.,14 } . （2）一盒中由5只外形相同的电子元件，分别标有号码 1，2，3，4，5。从中任取3只，A-”最小号码为1” 。 解： A { ( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , )}. ( , , ),( , , ),( , , ),( , , )}; { ( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ) 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 =  =

2.下列各式在什么条件下成立？AUB=A,AB=A. 解：当ADB时，AUB=A,当AcB时，AB=A

2.下列各式在什么条件下成立？ A B = A,AB = A. 解： 当A  B时，AB = A,当A  B时，AB = A

3.设A,B,C表示三个事件，试将下列事件用A,B,C表 示出来： (1)仅A发生； (2)A,B,C都发生； (3)A,B,C都不发生；(4)A,B,C不都发生； (5)A不发生，且B,C中至少有一事件发生； (6)A,B,C中至少有一事件发生； 。 (7)A,B,C中恰有一事件发生 (8)A,B,C中至少有二事件发生； (9)A,B,C中最多有一事件发生； 解： (1)ABC;(2)ABC;(3)ABC;(4)ABC;(5)A(BOC); (6)AUBUC(7)ABCOABCABC;(8)ABUACU BC (9)ABACUBC

3.设A,B,C表示三个事件，试将下列事件用A,B,C表 示出来： （1）仅A发生； （2）A,B,C都发生； （3）A,B,C都不发生； （4）A,B,C不都发生； （5）A不发生，且B,C中至少有一事件发生； （6）A,B,C中至少有一事件发生； （7）A,B,C中恰有一事件发生； （8）A,B,C中至少有二事件发生； （9）A,B,C中最多有一事件发生； 解： ( )A B A C B C. ( )A B C( )ABC ABC ABC;( )A B A C B C; ( )ABC ;( )ABC;( )ABC ;( )ABC;( )A( B C );          9 6 7 8 1 2 3 4 5

4.设P(A)=0.5,PB)=0.6,问：（1)在什么条件下 P(AB)取得最大值，最大值是多少？(2)在什么 条件下PAB)取得最小值，最小值是多少？ 解： P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB), P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB), 当AcB时，P(AUB)=P(B, 则P(AB)=P(A)=0.5; 当AUB=2时，P(AUB)=P(2)=1, 则P(AB)=P(A)+P(B)-1=0.1

4.设P(A)=0.5,P(B)=0.6,问：（1）在什么条件下 P(AB)取得最大值，最大值是多少？（2）在什么 条件下P(AB)取得最小值，最小值是多少？ 解： P( A B ) P( A) P( B ) . . A B ,P( A B ) P( ) , P( A B ) P( A) . ; A B P( A B ) P( B ), P( A B ) P( A) P( B ) P( A B ), P( A B ) P( A) P( B ) P( A B ), 1 0 1 1 0 5 = + − =  =  = = = =   = = + −   = + − 则 当 时 则 当 时 ， 有  

5.设P(A>0,PB)>0,将下列四个数：P(A),PAB), PA)+PB),PAUB)按由小到大的顺序排列，用符号≤ 联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。 解：因为ABCAC(AUB) 所以P(AB)≤P(A)≤P(AUB 又因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),即 P(A)+P(B)-P(A0B)=P(AB)20 故P(A)+P(B)≥P(AUB) 当B一A时，有P(AB)=P(A): 当A一B时，P(AUB)=P(A), 当A,B互不相容时，P(AUB)=P(A)+P(B)】

5.设P(A)>0，P(B)>0，将下列四个数：P(A)，P(AB)， P(A)+P(B)，P(A∪B)按由小到大的顺序排列，用符号≤ 联系它们，并指出在什么情况下可能有等式成立。 解： A,B ,P( A B ) P( A) P( B ). A B P( A B ) P( A), B A P( A B ) P( A); P( A) P( B ) P( A B ) P( A) P( B ) P( A B ) P( A B ) P( A B ) P( A) P( B ) P( A B ), P( A B ) P( A) P( A B ) A B A ( A B )  = +   =  = +   + −  =   = + −       当 互不相容时 当 时 ， 当 时，有 故 又因为 即 所 以 因 为 0

6设A,B,C为三个事件，证明： P(AUB UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC) -P(BC)+P(ABC) 证明： P(AUBUC)=P(AUB)+P(C)-P[(AUB)C] =P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(ACUAB) P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

6.设A,B,C为三个事件，证明： P (A∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC) -P(BC)+P(ABC) 证明： P (A∪B∪C)=P(A∪B)+P(C) –P[(A∪B)C] =P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC∪AB) = P(A)+P(B)-P(AB) +P(C)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

7.设P(A)=PB)=P(C)=1/3,P(AB)=P(AC)=0, PBC)=1/4,求A、B、C至少有一事件发生的概率。 解：因为ABCC AB,所以P(ABC)≤P(AB)=0 故P(ABC)=0 P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =1-1/4=3/4. 或ABCCAC,所以P(ABC)≤P(AC)=0 故P(ABC)=0 ●

7.设P(A)=P(B)=P(C)=1/3，P(AB)=P(AC)=0， P(BC)=1/4，求A、B、C至少有一事件发生的概率。 解： P (A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =1-1/4=3/4. 0 0 =   = P( ABC ) ABC AB, P( ABC ) P( AB ) 故 因 为 所 以 0 0 =   = P( ABC ) ABC AC, P( ABC ) P( AC ) 故 或 所 以

8.一批产品只有200件，其中6件废品，求： (1)任取3件产品中恰有一件是废品的概率； (2)任取3件产品中没有废品的概率； (3)任取3件产品中废品不少于2件的概率。 解：基本事件总数：N=Co, (1)设事件A=“任取3个产品中恰有一件是废品” 事件A中的基本事件数：M,=CCg : P(A)- M Ciac N C2oo (2)设事件B=“任取3件产品中没有废品” 事件B中的基本事件数：M2=C P(B) M, 200

8.一批产品只有200件，其中6件废品，求： （1）任取3件产品中恰有一件是废品的概率； （2）任取3件产品中没有废品的概率； （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率。 解： : N C , 3 基本事件总数 = 200 （1）设事件A=“任取3个产品中恰有一件是废品” 事件A中的基本事件数： P(A) （2）设事件B=“任取3件产品中没有废品” 事件B中的基本事件数： P(B) 1 6 2 M1 = C194C 3 200 1 6 2 1 194 C C C N M = = 3 M2 = C194 3 200 3 2 194 C C N M = =

(3)设事件C=“任取3件产品中废品不少于2件” P(C)= 200 ●

（3）设事件C=“任取3件产品中废品不少于2件” P(C) = 3 200 3 6 1 194 2 6 C C C +C