新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 基本概念 第一节 微分方程及其解的定义（主讲：曼合布拜）

常微分方程多媒体教学课件 ©第一章：基本概念 ○第二章：一阶微分方程的初等解法 ● 第三章：一阶微分方程的解的存在定理 第四章：高阶微分方程 第五章：线微分方程组 第六章：非线性微分方程和稳定性 第七章：一阶线性偏微分方程 习题课 结束 上一返回下一页<2目录 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 第一章：基本概念 第二章：一阶微分方程的初等解法 第三章：一阶微分方程的解的存在定理 第四章：高阶微分方程 第五章：线微分方程组 第六章：非线性微分方程和稳定性 第七章：一阶线性偏微分方程 常微分方程多媒体教学课件 习题课

常微分方程多媒体教学课件 第一章：基本概念 0 第一节微分方程及其解的定义 第二节 微分方程模型 本节重点与难点 结束 帮助

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 第一章：基本概念 第一节 微分方程及其解的定义 第二节 微分方程模型 常微分方程多媒体教学课件 本节重点与难点

§1微分方程及其解的定义 教学内容 0 微分方程的定义，微分方程的解，通解特解，初始条件，线性与非 线性方程等概念 ©通过实例讲解如何由实际问题建立微分方程模型， 教学要求 通过讲授微分方程的一些具体实例.使学生了解如何由实际问 题建立数学；理解微方程的基本概念（解，通解，初始条件等） 结束 目录 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 教学内容 教学要求 微分方程的定义,微分方程的解,通解特解,初始条件,线性与非 线性方程等概念. 通过实例讲解如何由实际问题建立微分方程模型. 通过讲授微分方程的一些具体实例.使学生了解如何由实际问 题建立数学;理解微方程的基本概念(解,通解,初始条件等) §1 微分方程及其解的定义

$1微分方程及其解的定义 第一节微分方程及其解的定义 微分方程 线性和非线性 微分方程的解和积分 通解，定解问题和特解 结束 帮助

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §1 微分方程及其解的定义 第一节 微分方程及其解的定义 线性和非线性 微分方程 通解,定解问题和特解 微分方程的解和积分

§1微分方程及其解的定义 由牛顿(Newton,1642-1727)和莱不尼兹(Leibniz, 1646-1716)所创立的微积分，是人类科学史上划时代的重大 发现。而微积分的产生与发展与人们求解微分方程的需要有密 切关系。所谓微分方程，就是联系着自变量，未知函数，以及 为知函数导数的方程。物理学，化学，生物学，工程技术和 某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述，往往会 出现微分方程。在本书的各章中，将举出各种不同的引导微分 方程的实际例子。一个实际问题只要转化为微分方程，那么问 题的解决就依赖于对微分方程的研究。就是在数学本身的一些 分支中，微分方程也是经常要用到的重要工具之一。本教程将 主要介绍常微分方程的基本理论和某些基本方法。 我们首先在本章中给出微分方程及其解的定义以及它们的 几何解释。对这些内容的理解需要在以后各章中进行反复和加 深。 结束 帮助■ 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 由牛顿(Newton，1642-1727)和莱不尼兹(Leibniz， 1646-1716) 所创立的微积分，是人类科学史上划时代的重大 发现。而微积分的产生与发展与人们求解微分方程的需要有密 切关系。所谓微分方程，就是联系着自变量，未知函数，以及 为知函数导数的方程。物理学 ，化学， 生物学，工程技术和 某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述，往往会 出现微分方程。在本书的各章中，将举出各种不同的引导微分 方程的实际例子。一个实际问题只要转化为微分方程，那么问 题的解决就依赖于对微分方程的研究。就是在数学本身的一些 分支中，微分方程也是经常要用到的重要工具之一。本教程将 主要介绍常微分方程的基本理论和某些基本方法。 我们首先在本章中给出微分方程及其解的定义以及它们的 几何解释。对这些内容的理解需要在以后各章中进行反复和加 深。 §1 微分方程及其解的定义

§1微分方程及其解的定义 §1.微分方程及其解的定义 利用数学手段研究自然现象和社会现象，或 解决工程技术问题，一般先要建立数学模型，在 对数学模型进行简化和求解，最后结合实际问题 对结果进行分析和讨论。数学模型最常见的表达 方式，是包含自变量和未知函数的函数方程。在 很多情形下，未知函数的导数也会在方程中出现。 例如，用牛顿第二运动定律列出质点的运动方程 时，就要出现质点位移（未知函数）对时间（自 变量)的二阶导数 d-x (m =F) 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 §1.微分方程及其解的定义 利用数学手段研究自然现象和社会现象，或 解决工程技术问题，一般先要建立数学模型，在 对数学模型进行简化和求解，最后结合实际问题 对结果进行分析和讨论。数学模型最常见的表达 方式，是包含自变量和未知函数的函数方程。在 很多情形下，未知函数的导数也会在方程中出现。 例如，用牛顿第二运动定律列出质点的运动方程 时，就要出现质点位移（未知函数）对时间（自 变量）的二阶导数. 2 2 ( ) d x m F dt = §1 微分方程及其解的定义

1微分方程及其解的定义 1.常微分方程和偏微分方程 我们知道，所谓方程，是指含有未知量的等式，它表达了未 知量所必须满足的某种条件。方程的种类很多，其分类的主要 依据是对未知量所施加的数学运算。 例如：2-2x+1=0 sinx+cosx=1 x2-x+1-√x2+x=1 ex=x2+2x-1 3 =2 x+I 这些都是我们以前见过的方程。左边的方程中，对未知 量x所施加的运算是代数运算，因此称代数方程；在右 边的方程中出现了未知量的超越函数，因此称超越方程。 结束 帮助 返下而< 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1.常微分方程和偏微分方程 我们知道，所谓方程，是指含有未知量的等式，它表达了未 知量所必须满足的某种条件。方程的种类很多，其分类的主要 依据是对未知量所施加的数学运算。 例如： 2 x x − + = 2 1 0 2 2 x x x x − + − + = 1 1 3 1 2 1 x x x − − = + sin cos 1 x x + = 2 2 1 x e x x = + − §1 微分方程及其解的定义 x x , 这些都是我们以前见过的方程。左边的方程中，对未知 量 所施加的运算是代数运算，因此称代数方程；在右 边的方程中出现了未知量 的超越函数 因此称超越方程

§1微分方程及其解的定义 微分方程与上述方程不同，它们的未知量是未知函数，而施加的 运算是未知函数的导数（或微分）。一般来讲，包含自变量， 未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）的等式称微分方 程a 1.-g.2.(t2+50)h+x=0 d 3.y+5y+3y=c0sx.(0y是未知函数，是自变量) )2+x -+y=0. (y为未知函数，x为自变量) d S.& +x+y=0 (z为未知函数，x,y为自变量) (Laplalace方程) 6. 2 Ot2 二0 ay? Ot? (热传导方程) 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 1. . dy xy dx = 微分方程与上述方程不同，它们的未知量是未知函数，而施加的 运算是未知函数的导数（或微分）。一般来讲，包含自变量， 未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）的等式称微分方 程。 例如： 2 2. ( 5 ) 0 t t dt xdx + + = '' ' 3. 5 3 cos .( y y y x y x + + = 是未知函数， 是自变量） §1 微分方程及其解的定义 2 4.( ) 0. dy dy x y dx dx + + = 5. 0 z x y x  + + =  2 2 2 2 2 2 6. 0 y u u x y t    + + =    2 2 2 2 2 2 2 7. ( ) u y u u a t x y t     = + +     ( , y x 为未知函数 为自变量） ( , , z x y 为未知函数 为自变量） ( ) Laplalace方程 (热传导方程）

§1微分方程及其解的定义 在微分方程中，若未知函数的自变量只有一个，就称它为常微 分方程(Ordinary Differential Equation,ODE) 若未知函数的自变量个数不少于二个，则它为偏微分方 程.(Partial Differential Equation,PDE).上例中的1,2,3,4为 常微分方程。例5-8为偏微分方程。这门课主要研究常微分方法， 简称微分方程. 微分方程中，必定含未知函数的导数的项，其中出现的未知 函数导数的最高阶数就称为该微分方程的阶数，它对微分方程 的解法及解的性质都起着实质性的作用。例如1,2,4,5为 阶微分方程，而3,6-8为二阶微分方程。 结束 首页

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 若未知函数的自变量个数不少于二个，则它为偏微分方 程.(Partial Differential Equation, PDE).上例中的1,2,3, 4为 常微分方程。例5-8为偏微分方程。这门课主要研究常微分方法， 简称微分方程. 微分方程中，必定含未知函数的导数的项，其中出现的未知 函数导数的最高阶数就称为该微分方程的阶数，它对微分方程 的解法及解的性质都起着实质性的作用。例如1, 2 ，4，5为一 阶微分方程，而3，6-8为二阶微分方程。 在微分方程中，若未知函数的自变量只有一个，就称它为常微 分方程（Ordinary Differential Equation, ODE) §1 微分方程及其解的定义

§1微分方程及其解的定义 一般n阶常微分方程式有如下形式： F(x,y,y,.vm)=0 (1.1) 但在实际讨论中，常将其写成所谓的标准形式： =fx,y,.y") 1.2) dx" 即方程式的左边只有系数为1的未知函数最高阶导数(n 阶导数)，而方程式的右边为自变量，未知函数和低于n 阶的苿知函数导数的已知函数。 结束 帮助 返回

结束 帮助 上一页 返回 下一页 目录 首页 = ' ( ) F x y y y ( , , ,., ) 0 1.1 n （ ） ( 1) ( , , ,., ) 1.2 n n n d y f x y y y dx − =  （ ） 一般n阶常微分方程式有如下形式： 但在实际讨论中，常将其写成所谓的标准形式: 即方程式的左边只有系数为1的未知函数最高阶导数(n 阶导数)，而方程式的右边为自变量，未知函数和低于n 阶的未知函数导数的已知函数。 §1 微分方程及其解的定义