新疆大学：《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 不定积分 第七章 定积分 第八章 定积分的应用和近似计算 第九章 数项级数 第十章 广义积分 第十一章 函数项级数、幂级数 第十二章 富里埃级数和富里埃变换 第十三章 多元函数和极限与连续

第六章不定积分 第七章定积分 第八章定积分的应用和近似计算 1.1.函数 第九章数项级数 访问主页 标题页 第十章广义积分 第十一章函数项级数、幂级数 第2页共109页 返回 第十二章富里埃级数和富里埃变换 全屏显示 关闭 退出 第十三章多元函数和极限与连续

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第二部分 单变量积分学 第六章 不定积分 §1. 不定积分的概念及运算法则 访问主页 标题页 在第一部分中，我们将一元函数的微分运算，就是由给定的函数求出它的 炒 导数或微分.但在科学技术的许多问题中，往往需要解决和微分运算正好 相反的问题，就是函数的导数已知，而要求这个函数，这种运算就叫做求原 第3页共109页 函数，也就是求不定积分 返回 全屏显示 关闭 退出

❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 3 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✶✓Ü➞ ü❈þ➮➞➷ ✶✽Ù Ø ➼ ➮ ➞ § 1. Ø➼➮➞✛❱❣✾✩➂④❑ ✸✶➌Ü➞➙, ➲❶ò➌✄➻ê✛❻➞✩➂, Ò➫❞❽➼✛➻ê➛Ñ➜✛ ✓ê➼❻➞. ✂✸❽➷❊â✛◆õ➥❑➙, ✥✥■❻✮ûÚ❻➞✩➂✔Ð ❷❻✛➥❑, Ò➫➻ê✛✓ê➤⑧, ✌❻➛ù❻➻ê, ù➠✩➂Ò✗❽➛✝ ➻ê, ➃Ò➫➛Ø➼➮➞

一、不定积分的定义 定义若在某一区间上，F(x)=f(x),则在这个区间上，函数F(x)叫做函 景1.1.雨数 数f(x)的原函数. 显然，从定义可知，一个函数的原函数不是唯一的，因为[F(x)+C刚 F(z)=f(x)(C为任意常数)，所以若函数F(x)是函数f(x)的原函数， 访问主页 则F(x)+C(C为任意常数)也是f(x)的原函数.反过来，由拉格朗日定理 标题页 的推论可知，如果两个函数F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，那么它们至 N炒 多相差一个常数，即F(x)-G(x)=C.因此，f(x)有一个原函数F(x)时， 它就有无穷多个原函数，而且所有的原函数具有F(x)+C的形式；即函 第4页共109页 数f(x)的原函数的一般表达式是F(x)+C. 返回 全屏显示 关闭 退出

❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➌✦Ø➼➮➞✛➼➶ ➼➶ ❡✸✱➌➠♠þ, F 0 (x) = f(x), ❑✸ù❻➠♠þ, ➻ê F(x)✗❽➻ ê f(x)✛✝➻ê. ✇✱, ❧➼➶➀⑧, ➌❻➻ê✛✝➻êØ➫➁➌✛, Ï➃ [F(x) + C] 0 = F 0 (x) = f(x)( C ➃❄➾⑦ê), ↕➧❡➻ê F(x)➫➻ê f(x)✛✝➻ê, ❑ F(x) + C ( C ➃❄➾⑦ê)➃➫ f(x)✛✝➻ê. ❻▲✺, ❞✳❶❑❋➼♥ ✛íØ➀⑧, ❳❏ü❻➻ê F(x)Ú G(x)Ñ➫f(x)✛✝➻ê, ❅♦➜❶➊ õ❷☛➌❻⑦ê, ❂ F(x) − G(x) = C . Ï❞, f(x)❦➌❻✝➻ê F(x)➒, ➜Ò❦➹→õ❻✝➻ê, ✌❹↕❦✛✝➻êä❦ F(x) + C ✛✴➟; ❂➻ ê f(x)✛✝➻ê✛➌❸▲❼➟➫ F(x) + C

1函数 我们把函数f(x)的原函数的一般表达式称为f(x)的不定积分，记 为∫f(a)dx.这里，fx)称为被积函数，“∫”称为积分号. 例如，已知(sinx)'=cosx,即sinx是cosx的一个原函数，于是cosx的原 访问主页 函数的一般表达式就是sinx+C,也就是cosx的不定积分，即 标题页 炒 cosxdx sinx+C 第5页共109页 返回 全屏显示 关闭 退出

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二、不定积分的基本公式 1.1.雨数 有不定积分的定义可知 =f) 访问主页 或 ∫f'(z)dx=f(x)+C 标题页 这就充分显示，求不定积分就是微分运算的逆运算.因此，有一个导数公式， 炒 就对应地有一个不定积分公式，于是，可以得到下列基本公式，也常称基本 积分表：其中C称为积分常数 第6页共109页 返回 全屏显示 关闭 退出

❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✓✦Ø➼➮➞✛➘✢ú➟ ❦Ø➼➮➞✛➼➶➀⑧ Z f(x)dx0 = f(x) ➼ R f 0 (x)dx = f(x) + C ùÒ➾➞✇➠, ➛Ø➼➮➞Ò➫❻➞✩➂✛❴✩➂. Ï❞, ❦➌❻✓êú➟, Òé❆✴❦➌❻Ø➼➮➞ú➟, ✉➫, ➀➧✚✔❡✎➘✢ú➟, ➃⑦→➘✢ ➮➞▲: Ù➙ C →➃➮➞⑦ê

da=x+C kdx kx+C a++1+Ca≠-0 1 xodx = 1函数 f-iro 访问主页 cos xdx sinx+C 标题页 sin adx =-cosx+C 炒 sec2 xdx tanx+C 第7页共109页 csc2 xdz =-cot x+C 返回 全屏显示 secxtanxda secx+C 关闭 退出

❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Z dx = x + C Z kdx = kx + C Z x α dx = 1 α + 1 x α+1 + C ( α 6= −1) Z 1x dx = ln |x| + C Z cos xdx = sin x + C Z sin xdx = − cos x + C Z sec 2 xdx = tan x + C Z csc 2 xdx = − cot x + C Z sec x tan xdx = sec x + C

1+xd arctan+C 1 1-x2 =dx arcsinx+C e"dx=e"+C 1 a"dx a+C 访问主页 Ina 标题页 sinh xdx coshx+C 炒 cosh da sinhx+C 第9页共109页 dx -=-cothx+C 返回 sinh2 x dx 全屏显示 cosh2 tanhx+C 关闭 退出

❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Z 1 1 + x 2 dx = arctan x + C Z 1 √ 1 − x 2 dx = arcsin x + C Z e x dx = e x + C Z a x dx = 1 ln a a x + C Z sinh xdx = cosh x + C Z cosh dx = sinh x + C Z dx sinh 2 x = − coth x + C Z dx cosh 2 x = tanh x + C

对于∫d缸=nl+C,我们作如下的补充说明。 因lnx只是在x>0时才有意义，故公式 -dx=Inx+C 1函数 仅当x>0时才成立.但当x0和x<0时的两个公式合并写成一个公式. 返回 全屏显示 =a+c 关闭 退出

❦ 1.1. ➻ ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ é ✉ R 1x dx = ln |x| + C , ➲ ❶ ❾ ❳ ❡ ✛ Ö ➾ ❵ ➨ . Ï ln x ➄ ➫ ✸ x > 0 ➒ â ❦➾➶ , ✙ ú ➟ Z 1x dx = ln x + C ❂ ✟ x > 0 ➒ â ↕ á . ✂✟ x 0 Ú x < 0 ➒ ✛ ü❻ú ➟ Ü ➾ ✕ ↕ ➌❻ú ➟ . Z 1x dx = ln |x| + C

三、不定积分的运算法则 由个分运算法则，相应地就可以得到以下的不定积分的运算法则： f回±tet=∫ed±/ek 1.1. 雨数 kf()dz=k f(x)dx(k是常数) 为了说明第一个公式，只要说明等式右端的导数等于左端积分的被积函 访问主页 数f(x)士9(x)就可以了.对右端求导数，就有 标题页 N炒 第10页共109页 返回 =f(x)士g(x) 全屏显示 关闭 这个法则说明两个函数之和（差）的不定积分等于它们的不定积分之和（差） 退出

❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ♥✦Ø➼➮➞✛✩➂④❑ ❞❻➞✩➂④❑, ❷❆✴Ò➀➧✚✔➧❡✛Ø➼➮➞✛✩➂④❑: Z [f(x) ± g(x)]dx = Z f(x)dx ± Z g(x)dx Z kf(x)dx = k Z f(x)dx (k➫⑦ê) ➃✡❵➨✶➌❻ú➟, ➄❻❵➨✤➟♠à✛✓ê✤✉❺à➮➞✛✚➮➻ ê f(x) ± g(x)Ò➀➧✡. é♠à➛✓ê, Ò❦ Z f(x)dx ± Z g(x)dx0 = Z f(x)dx0 ± Z g(x)dx0 = f(x) ± g(x) ù❻④❑❵➨ü❻➻ê❷Ú(☛)✛Ø➼➮➞✤✉➜❶✛Ø➼➮➞❷Ú(☛)

类似地，可以证明 kf(a)dz=kf(z)dz 这个法则表明，在求不定积分是常数因子可以提到积分号外面.特别地， 访问主页 当k=-1时就有 [(-f(c))d = 标题页 f()dx “炒 下面我们举几个求积分的例子.以后如无特别说明，我们都用C表示任意 常数 第11页共109贝 返回 全屏显示 关闭 退出

❦ 1.1. ➻ê ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 11 ➄ ✁ 109 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ❛q✴, ➀➧②➨ Z kf(x)dx = k Z f(x)dx ù❻④❑▲➨, ✸➛Ø➼➮➞➫⑦êÏ❢➀➧❏✔➮➞Ò✠→. ❆❖✴, ✟k = −1➒Ò❦ Z (−f(x))dx = − Z f(x)dx ❡→➲❶Þ❆❻➛➮➞✛⑦❢. ➧￾❳➹❆❖❵➨, ➲❶Ñ❫C ▲➠❄➾ ⑦ê