新疆大学：《数学分析》课程教学资源（授课教案）第一学期讲义（少数民族班，第1、2、3、4、5、6章）

第一章函数 函数 第二章极限 1.3 第二章 极限 52.2 收敛数列 第三章连续函数 访问主页 标题页 第四章实数的连续性 第五章重导数与微分 第2页共513页 返回 全屏显示 第六章微分学基本定理及其应用 关闭 退出

❦1.1. ➻ ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹ ⑩ §2.2 ➶ ñê ✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 2 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ  ✶ ➌ Ù ➻ ê  ✶ ✓ Ù ✹ ⑩  ✶ ♥ Ù ë ❨ ➻ ê  ✶ ♦ Ù ➣ê ✛ ë❨✺  ✶ ✃ Ù ➢ ✓ ê ❺ ❻ ➞  ✶ ✽ Ù ❻ ➞ ➷ ➘ ✢ ➼ ♥ ✾ Ù❆❫

在自然科学、工程技术、甚至在某些社会科学中，函数是被广泛应用 的数学概念之，其重要意义远远超出了数学范围，在数学中函数处于基础 的核心地位。函数不仅是贯穿于中学《代数〉的一条主线，它也是数学 分析这门课程研究的对象。 中学数学应用“集合”与“对应”已经给出了函数概念，并在此基 础上讨论了函数的一些简单性质。本章除对中学《代数》的函数及其性 质重点复习外，根据本课与后继课的需要，将对函数作深入的讨论 多11雨数 s1.3 1 §1.1. 函数 第二章极限 82.2 收效数列 一、函数的概念 在一个自然现象或技术过程中，常常有几个量同时变化，他们的变 访问主页 化并非彼此无关，而是互相联系着这是物质是饥饿的一个普遍规律。下 标题页 面例举几个有两个变量互相联系着的例子： 将数列(1)的项依次用加号连接起来，即 例1.真空中自由落体，物体下落的时间t与下落的距离s互相联系 着。如果物体距地面的高度为h,t∈[0，√骨 第3页共513页 都对应一个距离s.已知t与s之间的对应关系是 返回 s=29t2 全屏显示 关闭 其中g是重力加速度，是常数 退出

❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 3 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✸❣✱❽➷✦ó➜❊â✦✩➊✸✱✡✖➡❽➷➙,➻ê➫✚✷➁❆❫ ✛ê➷❱❣❷,Ù➢❻➾➶✎✎❻Ñ✡ê➷❽➀➜✸ê➷➙➻ê❄✉➘✿ ✛Ø✪✴➔✧➻êØ❂➫✵❇✉➙➷✺➇ê✹✛➌❫❒❶➜➜➃➫ê➷ ➞Ûù⑨➅➜ï➘✛é➊✧ ➙➷ê➷❆❫✴✽Ü✵❺✴é❆✵➤➨❽Ñ✡➻ê❱❣➜➾✸❞➘ ✿þ❄Ø✡➻ê✛➌✡④ü✺➓✧✢ÙØé➙➷✺➇ê✻✛➻ê✾Ù✺ ➓➢✿❊❙✠➜❾â✢➅❺￾❯➅✛■❻➜òé➻ê❾✢❭✛❄Ø. 1 ❦1.1. ➻ê ➌✦➻ê✛❱❣ ✸➌❻❣✱②➊➼❊â▲➜➙➜⑦⑦❦❆❻þÓ➒❈③➜➛❶✛❈ ③➾➎✯❞➹✬➜✌➫♣❷é❳❳.ù➫Ô➓➫✰☛✛➌❻✃❍✺➷✧❡ →⑦Þ❆❻❦ü❻❈þ♣❷é❳❳✛⑦❢➭ òê✎(1)✛➅➑❣❫❭Òë✚å✺,❂ ⑦1. ý➌➙❣❞á◆➜Ô◆❡á✛➒♠ t ❺❡á✛å❧ s ♣❷é❳ ❳✧❳❏Ô◆å✴→✛♣Ý➃ h , ∀t ∈ h 0, q2h g i Ñé❆➌❻å❧ s .➤⑧ t ❺ s ❷♠✛é❆✬❳➫ s = 1 2 gt2 Ù➙ g ➫➢å❭❸Ý,➫⑦ê

例2.球半径r与该球的体积V高之联系着 V= 1.1雨数 s1.3 第二章极限 其中π是圆周率，是常数。 522 收敏数列 例3.某地某日时间t与气温T高之联系着（如图1.1）.对13时至15时内任意 时间t都对一个气温T.已知t与T的对应关系用途1.1中的气温曲线表示.横坐 访问主页 标表示时间t,纵坐标表示气温T曲线任意一点Pt,T)表示在时间t对应着 标题页 的气温T 炒 15 P(t,T) 10 第4页共513页 5 返回 1314151617181920212223t/h 全屏显示 图1.1 关闭 退出

❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 4 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦2. ➙➀➺ r ❺❚➙✛◆➮ V ♣❷é❳❳. V = 4 3 πr3 , Ù➙π➫☛➧➬➜➫⑦ê✧ ⑦3. ✱✴✱❋➒♠ t ❺í➜T♣❷é❳❳↔❳ã1.1).é13➒➊15➒❙❄➾ ➒♠tÑé➌❻í➜T. ➤⑧t❺T✛é❆✬❳❫å1.1➙✛í➜➢❶▲➠.î❿ ■▲➠➒♠t,♣❿■▲➠í➜T.➢❶❄➾➌✿P(t➜T) ▲➠✸➒♠té❆❳ ✛í➜T. ✲ ✻ t t t 15 10 5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 T/oC P(t, T) t/h ã 1.1

例4.当气压为101325Pa时，温度T与水的体积V互相联系着.实测如下 表 T/100°C02 4 6 10 12 14 V/cm310099.99099.98799.99099.998100.012100.032 100.057 多11雨数 对{0,2,4,6,8,10,12,14}中的每个温度T都对应一个体积V,已知T与V的对应 s1.3 第二章极服 $22收敛数列 关系用上面表格表示 例5.Hx∈R都对应一个数=sinx,即x与y之间的对应关系是 访问主页 标题页 y=sin x. 例6.Hx∈(-5，π都对应一个数y=3x2+x-1,即x与y之间的对应关系 第5页共513页 是 返回 全屏显示 y=3x2+x-1. 关闭 退出

❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 5 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦4. ✟íØ➃101 325 Pa➒➜➜ÝT❺❨✛◆➮V♣❷é❳❳.➣ÿ❳❡ ▲: T/100oC 0 2 4 6 8 10 12 14 V/cm3 100 99.990 99.987 99.990 99.998 100.012 100.032 100.057 é{0,2,4,6,8,10,12,14}➙✛③❻➜ÝTÑé❆➌❻◆➮V,➤⑧T❺V✛é❆ ✬❳❫þ→▲❶▲➠. ⑦5. ∀ x ∈ RÑé❆➌❻êy = sin x,❂x❺y❷♠✛é❆✬❳➫ y = sin x. ⑦6. ∀ x ∈ (−5, π]Ñé❆➌❻êy = 3x 2 + x − 1,❂x❺y❷♠✛é❆✬❳ ➫ y = 3x 2 + x − 1

上述前四个实例，分属于不同的学科，实际意义完全不同但是，从数学角 度看，它们与后两个例子却有共同特征：都有一个数集和一个对应关系，对 于数集中的任意x,按照对应关系都对应R中唯一一个数于是有如下的函 1.1雨越 数概念： s1.3 第二章极限 定义设A是非空数集若存在对应关系f,对A中任意数x(付x∈A),按 522 收敛数列 照对应关系f,对应唯一一个y∈R,则称∫是定义在A上的函数，表为 访问主页 f:A→R 标题页 炒 数x对应的数y称为x的函数值，表为y=f(x).x称为自变数，y称为因 4 变数数集A称为函数∫的定义域，函数值的集合f(A)={f(xz∈A称 第6页共513页 为函数∫的值域， 返回 根据函数的定义，不难看到，上述六例皆为函数的实例 全屏显示 关闭 退出

❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 6 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ þã❝♦❻➣⑦,➞á✉ØÓ✛➷❽,➣❙➾➶✑✜ØÓ.✂➫,❧ê➷✍ Ý✇,➜❶❺￾ü❻⑦❢✪❦✁Ó❆✍:Ñ❦➌❻ê✽Ú➌❻é❆✬❳,é ✉ê✽➙✛❄➾x,❯ìé❆✬❳Ñé❆ R ➙➁➌➌❻ê.✉➫❦❳❡✛➻ ê❱❣: ➼➶ ✗ A➫➎➌ê✽.❡⑧✸é❆✬❳ f,é A➙❄➾ê x(∀ x ∈ A),❯ ìé❆✬❳f,é❆➁➌➌❻y ∈ R ,❑→f➫➼➶✸Aþ✛➻ê,▲➃ f : A → R. ê x é❆✛ê y →➃ x ✛➻ê❾,▲➃ y = f(x). x →➃❣❈ê, y →➃Ï ❈ê.ê✽ A →➃➻ê f ✛➼➶➁,➻ê❾✛✽Ü f(A) = {f(x)|x ∈ A} → ➃➻ê f ✛❾➁. ❾â➻ê✛➼➶,Ø❏✇✔,þã✽⑦✛➃➻ê✛➣⑦

关于函数概念的几点说明： 1.用符号“f:A→R”表示y是定义在数集A上的函数，十分清 楚、明确特别是在抽象的科学学科中使用这个函数符号根显得方便但 多11雨数 s1.3 是，在数学分析中，一方面要任论抽象的函数f;另一方面又要任论大 第二章极服 22 收敛数列 量具体的函数在具体函数中需要将对应关系具体化，使用这个符 号就有些不便.为此在本书中约定，将“f是定义在A上的函数”用符号 访问主页 “y=f(x),x∈A”表示当不需要指明函数f的定义域时，又可简写为 标题页 “y=f(x)”,有时甚至笼统地说“f(x)是x的函数（值）”严格地讲，这样 的符号和叙述混淆了函数与函数值这仅是为了方便而作的约定， 第7页共513页 2.在函数概念中，对应关系∫是抽象的，只有在具体的函数中，对应关 返回 系才是具体的.例如，在上述几个例子中： 全屏显示 关闭 退出

❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✬✉➻ê❱❣✛❆✿❵➨: 1.❫❰Ò✴f : A → R✵▲➠ y ➫➼➶✸ê✽ A þ✛➻ê,➏➞➌ Ù✦➨✭.❆❖➫✸➘➊✛❽➷➷❽➙➛❫ù❻➻ê❰Ò❾✇✚➄❇.✂ ➫,✸ê➷➞Û➙,➌➄→❻❄Ø➘➊✛➻ê f ;✱➌➄→q❻❄Ø➀ þä◆✛➻ê.✸ä◆➻ê➙■❻òé❆✬❳ f ä◆③, ➛❫ù❻❰ ÒÒ❦✡Ø❇.➃❞✸✢Ö➙✕➼,ò✴f➫➼➶✸Aþ✛➻ê✵❫❰Ò ✴ y = f(x)➜x ∈ A✵▲➠.✟Ø■❻➁➨➻ê f ✛➼➶➁➒,q➀④✕➃ ✴ y = f(x)✵,❦➒✩➊❁Ú✴❵✴ f(x) ➫ x ✛➻ê(❾)✵.î❶✴ù,ù✘ ✛❰ÒÚ◗ã➲➔✡➻ê❺➻ê❾.ù❂➫➃✡➄❇✌❾✛✕➼. 2.✸➻ê❱❣➙,é❆✬❳f➫➘➊✛,➄❦✸ä◆✛➻ê➙,é❆✬ ❳fâ➫ä◆✛.⑦❳,✸þã❆❻⑦❢➙:

例1，f是一组运算：t的平方乘以常数9(s=9t2). 例2，∫是一组运算：r的立方乘以常数π(V=πr3) 例3，f是图1.1所示的曲线 1.1雨越 s1.3 例4，f是所列的表格 第二章极限 $22收敏数列 为了对函数有个直观形象的认识，可将它比喻为一部“数值变换器” 将任意x∈A输入到数值变换器之中，通过∫的“作用”，输出来的就 访问主页 是y.不同的函数就是不同的数值变换器（如图1.2） 标题页 炒 ) ) -f(r) -i加王 第8页共513页 返回 全屏显示 1.2 关闭 退出

❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦1,f➫➌⑤✩➂:t✛➨➄➛➧⑦ê1 2 g(s = 1 2 gt2 ). ⑦2,f➫➌⑤✩➂:r✛á➄➛➧⑦ê4 3 π(V = 4 3 πr3 ). ⑦3,f➫ã1.1↕➠✛➢❶. ⑦4,f➫↕✎✛▲❶. ➃✡é➻ê❦❻❺✯✴➊✛❅↔,➀ò➜✬➆➃➌Ü✴ê❾❈❺ì✵. ò❄➾ x ∈ A Ñ❭✔ê❾❈❺ì❷➙,Ï▲f✛✴❾❫✵,ÑÑ✺✛Ò ➫ y .ØÓ✛➻êÒ➫ØÓ✛ê❾❈❺ì(❳ã1.2)

3根据函数的定义，虽另函数都存在定义域，但是常常并不明确 指出函数则=f(x)的定义域，这时认为函数的定义域是自明的，即定 多11雨数 义域是使函数y=f()有意义的实数的集合A={xfx)∈R} s1.3 第二章极服 例系，函数f(x)=V1一2没有指出它的定义域，那么它的定义 $22收敛数列 域就是使函数f(z)=√1-x2有意义的实数x的集合，即闭区间[ 1,I]={zV1-x2eR: 访问主页 标题页 具有实际意义的函数，它的定义域要受实际意义的约束例系，上述的 例2，半径为r的球的体积V=π3这个函数从抽象的函数来说r可取 任意实数；从它的实际意义来说，半径不能取负作因此，它的定义域是区 第9页共513页 间[0，+o). 返回 全屏显示 关闭 退出

❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 3.❾ â ➻ ê ✛ ➼ ➶,➃ ✱ ➻ ê Ñ ⑧ ✸ ➼ ➶ ➁,✂ ➫ ⑦ ⑦ ➾ Ø ➨ ✭ ➁Ñ➻êy = f(x)✛➼➶➁,ù➒❅➃➻ê✛➼➶➁➫❣➨✛,❂➼ ➶ ➁ ➫ ➛ ➻ êy = f(x)❦ ➾ ➶ ✛ ➣ ê ✛ ✽ Ü A = {x|f(x) ∈ R }. ⑦ ❳,➻ êf(x) = √ 1 − x 2✈ ❦ ➁ Ñ ➜ ✛ ➼ ➶ ➁,❅ ♦ ➜ ✛ ➼ ➶ ➁ Ò ➫ ➛ ➻ êf(x) = √ 1 − x 2❦ ➾ ➶ ✛ ➣ êx✛ ✽ Ü,❂ ✹ ➠ ♠[- 1,1]={x| √ 1 − x 2 ∈ R }. ä❦➣❙➾➶✛➻ê,➜✛➼➶➁❻➱➣❙➾➶✛✕å.⑦❳,þã✛ ⑦2,➀➺➃ r ✛➙✛◆➮V = 4 3 πr3ù❻➻ê.❧➘➊✛➻ê✺❵,r➀✒ ❄➾➣ê;❧➜✛➣❙➾➶✺❵,➀➺rØ❯✒❑❾.Ï❞,➜✛➼➶➁➫➠ ♠[0,+∞)

4.函数定义指出：“Vx∈A,按照对应关系f,对应唯一一个y∈R”,这 1.1雨越 样的对应就是所谓单值对应.反之，一个y∈f(A)就不一定只有一个x∈ s1.3 第二章极限 A,使则=()这是因为，在函数定义中只是说，一个x∈A,按照对应关 522 收敛数列 系∫，只对应唯一一个y∈R,意没有说，不同的x对应不同的y,即不同的x可 访问主页 能对应相同的y.例如，函数y=sinx.x∈R,按照对应关系sin,对应唯 标题页 个y=sinx∈R,反之，对=1，却有无限多个x=2kπ+∈R,k∈Z,按照 炒 对应关系sin,都对应着1，即 sin(2k+ =1,k∈z 第10页共513页 返回 全屏显示 关闭 退出

❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ 4.➻ê➼➶➁Ñ:✴∀x ∈ A,❯ìé❆✬❳f,é❆➁➌➌❻ y ∈ R ✵,ù ✘✛é❆Ò➫↕➣ü❾é❆.❻❷,➌❻ y ∈ f(A)ÒØ➌➼➄❦➌❻ x ∈ A ,➛y = f(x).ù➫Ï➃,✸➻ê➼➶➙➄➫❵,➌❻ x ∈ A,❯ìé❆✬ ❳f,➄é❆➁➌➌❻ y ∈ R ,➾✈❦❵,ØÓ✛xé❆ØÓ✛y,❂ØÓ✛x➀ ❯é❆❷Ó✛y.⑦❳, ➻êy = sin x.∀x ∈ R,❯ìé❆✬❳sin,é❆➁➌➌ ❻y = sin x ∈ R,❻❷,éy = 1,✪❦➹⑩õ❻x = 2kπ + π 2 ∈ R, k ∈ Z,❯ì é❆✬❳sin,Ñé❆❳1,❂ sin(2kπ + π 2 ) = 1, k ∈ Z

二、函数的四则运算 函数的定义包含两个要素：对应关系与定义域因此，定义两个函数相等 和四则运算需要同时考虑这两个要素 定义设两个函数∫与g分别定义在数集A与B. 多11雨数 1若A=B,且x∈A,有f(x)=g(x),则称函数f与g相等，表为f=9: s1.3 第二章极服 2.若A∩B卡0，则函数的和f+9、差∫-g、积fg分别定义为 $22收敛数列 (f+g)(x)=f(x)+g(x),IEAnB 访问主页 标题页 (f-g)(z)=f(x)-g(z),xEAnB (fg)(x)=f(x)g(x), x∈A∩B 第11页共513页 3.若(4∩B)-{xg()=0}卡0，则函数f与g的商定义为 返回 全屏显示 E(AnB)-{xlg()=0) 关闭 g() 退出

❦1.1. ➻ê §1.3. . . ✶✓Ù ✹⑩ §2.2 ➶ñê✎ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 11 ➄ ✁ 513 ➄ ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✓✦➻ê✛♦❑✩➂ ➻ê✛➼➶➑➵ü❻❻❷:é❆✬❳❺➼➶➁.Ï❞,➼➶ü❻➻ê❷✤ Ú♦❑✩➂■❻Ó➒⑧➘ùü❻❻❷. ➼➶ ✗ü❻➻ê f ❺ g ➞❖➼➶✸ê✽ A ❺ B . 1.❡ A = B,❹∀x ∈ A,❦f(x) = g(x),❑→➻ê f ❺ g ❷✤,▲➃ f = g . 2.❡ A ∩ B 6= ∅,❑➻ê✛Úf + g✦☛f − g✦➮fg➞❖➼➶➃ (f + g)(x) = f(x) + g(x), x ∈ A ∩ B (f − g)(x) = f(x) − g(x), x ∈ A ∩ B (fg)(x) = f(x)g(x), x ∈ A ∩ B 3.❡ (A ∩ B) − {x|g(x) = 0} 6= ∅,❑➻ê f ❺ g ✛ûf g➼➶➃ f g  (x) = f(x) g(x) , x ∈ (A ∩ B) − {x|g(x) = 0}