呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第四章 不定积分 第三节 分部积分法

第三节分部积分法 教学目的：使学生掌握不定积分的分部积分法。 教学重点：不定积分的分部积分法。 教学难点：分部积分法中u与的选取。 教学过程： 设u=(x),v=x),则有 (uv)'=u'v+uv d(uv)=vdu+udv 两端求不定积分，得 ∫(uvy'dk=「vudk+「uv'dh 学 「duv)=「vdu+「udr ∫ud=uv-∫vdu 3-1 「uv'd=uv-「vidk (3-2 公式(31)或(3-2)称为不定积分的分部积分公式。 例l.求∫xcosxdx 解：「xcosxdx=「xdsin x =xsnx-∫snxd =xsin x+cosx+C 例2.求「x2edk 解：∫xe'dk=∫xde

第三节 分部积分法 教学目的：使学生掌握不定积分的分部积分法。 教学重点：不定积分的分部积分法。 教学难点：分部积分法中 u 与 dv 的选取。 教学过程： 设 u = u(x)， v = v(x) ，则有 (u v) = u  v + u v  或 d(u v) = v du + u dv 两端求不定积分，得    (u v)dx = vu dx + u v dx 或    d(u v) = v du + u dv 即   u dv = u v − v du (3-1) 或   u v dx = u v − vu dx (3-2) 公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。 例1． 求  x cos xdx 解：   x cos xdx = xd sin x x x x C x x xdx = + + = −  sin cos sin sin 例2． 求  x e dx 2 x 解： x x x e dx x de   = 2 2

=x2e-∫e'2 =x2e'-2[xe'dx =x2e-2xe-∫e'd) =xe*-2xe'+2e*+C 注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数 函数乘积，做分部积分时，取幂函数为，其余部分取为小加。 例3.求∫xnxd 解：∫xhxk=打nxd =hx-小xdh =业nx-小ad -hx-zx+C -xhx-ix+C 例4. 求[xarctan xdx 解：∫xarctan xdx=faretanxd arctan-darctan -0f-之个 =)产arctan-x+arctan+C 注2：由例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函 数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为4，其余部分取为。 例5.求「esin xdx 解：∫snxdx=∫sin xde

x e xe e C x e xe e dx x e xe dx x e e dx x x x x x x x x x x = − + + = − − = − = −    2 2 2( ) 2 2 2 2 2 2 注 1：由例 1 和例 2 可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数 函数乘积，做分部积分时，取幂函数为 u ，其余部分取为 dv 。 例3． 求  x ln xdx 解：   = 2 ln 2 1 x ln xdx xdx     x x x C x x x C x x xdx x x x d x = − + +      = − = − = −   2 2 2 2 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln ln 2 1 例4． 求  x arctan xdx 解：   = 2 arctan 2 1 x arctan xdx xdx   x x x x C dx x x x dx x x x x x x x d x = − + +       + = − −       + = − = −    arctan arctan 2 1 ) 1 1 arctan (1 2 1 1 arctan 2 1 arctan arctan 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 注 2：由例 3 和例 4 可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函 数函数乘积，做分部积分时，取对数函数或反三角函数为 u ，其余部分取为 dv 。 例 5． 求  e xdx x sin 解：   = x x e sin xdx sin xde

=e'sinx-「e'dsin x =e'sinx-「e'cosxdx =e'sinr-∫cosxde =e'sin x-(e'cosx-[e'dcosx) =e*sin x-e*cosx-e*sin xdx 因此得 2e"sin xdx=e'(sin x-cosx) 免 n )+C 例6.求「eh 解：令√F=1,则x=1户，本=21d,因此 ∫eidk=∫e'2d =2[te'dt =2e-e]+c =2e(-l)+C 小结：本节学习了不定积分的分部积分法。对两类不同形式的被积函数给出了分部积分的 参考原则，也讨论了分部积分方法与换元方法结合使用的例题。 思考：1，分部积分法求不定积分的条件是什么？ 2,应用分部积分法求不定积分的关键是什么？应注意什么？ 作业见作业卡

     = − − = − − = − = − = − e x e x e xdx e x e x e d x e x xde e x e xdx e x e d x x x x x x x x x x x x x sin cos sin sin ( cos cos ) sin cos sin cos sin sin 因此得  2 e sin xdx = e (sin x − cos x) x x 即 e xdx e x x C x x = − +  (sin cos ) 2 1 sin 例 6． 求  e dx x 解： 令 x = t ，则 2 x = t ， dx = 2tdt ，因此   e x C te e C te dt e dx e tdt x t t t x t = − + = − + = =    2 ( 1) 2 2 2 小结：本节学习了不定积分的分部积分法。对两类不同形式的被积函数给出了分部积分的 参考原则，也讨论了分部积分方法与换元方法结合使用的例题。 思考：１．分部积分法求不定积分的条件是什么？ 2． 应用分部积分法求不定积分的关键是什么？应注意什么？ 作业见作业卡