呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第一章 函数与极限 第4节 无穷大与无穷小

第四节无穷大与无穷小 教学目的：理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量、无穷大量以及有 量之间的关系，掌握它们的性质。 教学重点：无穷小量和无穷大量的概念 教学难点：无穷小量和无穷大量有关性质 教学过程： 前面我们研究了n→o数列x,的极限、 x→0函数fx)的极限 x→+0函数f(x)的极限、 x→-0函数f(x)的极限、 x→x函数f(:)的极限、 x→x函数fx)的极限、 x→x,函数f)的极限， 这七种趋近方式。下面我们用x→★表示上述七种的某一种趋近方式，即 *∈h→0x→0x→+0x→-00x→0x→x0*x→x0} 定义1当在给定的x→*下，f(x)以零为极限，则称fx)是x→*下的无穷小量， 即mf)=0. 定义2当在给定的x→*下，厂x无限增大，则称fx)是x→*下的无穷大量， 记作imfx)=o. 显然，n→o时，n、n、n3、.都是无穷大量， x→0时，x、x之、x+x2、sinx、tanx都是无穷小量。 关于无穷大、无穷小有如下一些结论： 定理1在自变量的同一变化过程x→x。（或x→∞)中，具有极限的函数等于它的

第四节 无穷大与无穷小 教学目的：理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量、无穷大量以及有 量之间的关系，掌握它们的性质。 教学重点：无穷小量和无穷大量的概念 教学难点：无穷小量和无穷大量有关性质 教学过程： 前面我们研究了 n → 数列 n x 的极限、 x → 函数 f (x) 的极限、 x → + 函数 f (x) 的极限、 x →− 函数 f (x) 的极限、 0 x → x 函数 f (x) 的极限、 + → 0 x x 函数 f (x) 的极限、 − → 0 x x 函数 f (x) 的极限， 这七种趋近方式．下面我们用 x → ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊   + −  → → → + → − → 0 → 0 → 0 n x x x x x x x x x 定义 1 当在给定的 x → ＊下， f (x) 以零为极限，则称 f (x) 是 x → ＊下的无穷小量， 即 lim ( ) = 0 → f x x ＊ ． 定义 2 当在给定的 x → ＊下， f (x) 无限增大，则称 f (x) 是 x → ＊下的无穷大量， 记作 ( ) =  → f x x ＊ lim ． 显然， n → 时， n、n 2 、n 3 、 都是无穷大量， x →0 时， x x x x sin x tan x 、 2 、 + 2 、 、 都是无穷小量． 注：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任 何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势． 关于无穷大、无穷小有如下一些结论： 定理 1 在自变量的同一变化过程 0 x → x （或 x → ）中，具有极限的函数等于它的

极限与一个无穷小之和：反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函 数的极限 定理2在自变量的月一变化过程中，知果化)为无穷大则内为无穷小：反之。 如果为无穷小，且)：0，则而为无穷大。 例1当x→+0时，y=xsinx是 () A)无穷小 B)无穷大 C)有界函数 D)无界的但不是无穷大 分析：取名=2mn=123）,则%=0，此时血=0 取=2n+=l23. .则人=2+经，时巴=0 答案：D 小结与思考： 本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质，注意不要错误的利用这些性 1.求极限 (2te 爆，分折：音有能对值符号，必须去持绝对值，要考虑以左、右极限人手 m(2+ei 1+e Itei 21 lim(2te l-eite=1 所以原极限= 作业：作业见作业卡

极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函 数的极限． 定理 2 在自变量的同一变化过程中，如果 f (x) 为无穷大，则 f (x) 1 为无穷小；反之， 如果 f (x) 为无穷小，且 f (x)  0 ，则 f (x) 1 为无穷大． 例 1 当 x → + 时， y = xsin x 是 （ ） A） 无穷小 B） 无穷大 C） 有界函数 D） 无界的但不是无穷大 分析：取 xn = 2n(n =1,2,3） ，则 yn = 0 ，此时 lim = 0 → n n y 取 = + ( =1,2,3） 2 xn 2n n   ，则 2 2  yn = n + ，此时 =  → n n lim y 答案：D 小结与思考： 本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质，注意不要错误的利用这些性 质． １．求极限 ) 1 2 lim ( 2 1 0 x x e e x x x + + + → 分析：含有绝对值符号，必须去掉绝对值，要考虑从左、右极限入手． 解： ) 1 2 lim ( 2 1 0 x x e e x x x + + + → + = ) 1 2 lim ( 2 1 0 x x e e x x x + + + → + = 1 1 3 lim 2 2 1 0 = + + + → + x x x x e e e ) 1 2 lim ( 2 1 0 x x e e x x x + + + → − = ) 1 2 lim ( 2 1 0 x x e e x x x − + + + → − = 1 1 1 lim 2 2 1 0 = + − + → − x x x x e e e 所以 原极限=1 作业：作业见作业卡