呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用 3.7 平面曲线的曲率

第七为 第三章 平面曲我的曲 曲线的弯 与切线的转角有关 曲程度 与曲线的弧长有关 M M 主要内容： 一、 孤微分 二 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 OAo⊙o8

第七节 曲线的弯 曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径  M M M  平面曲线的曲率 第三章

一、弧微分 设y=f(x)在(a,b)内有连续导数，其图形为AB, 弧长S=AM=s(x) y=f( )B M' △S MM MM' A M △x MM' △x MM' V(△x)2+(△y)2 a MM' △x X↑bx x+△x MM MM' lim =±1 Ax0MM' .s'(x)=lim

一、 弧微分 设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, 弧长 s = AM = s(x) x s   M M M M   = x M M    M M M M   = x x y   +   2 2 ( ) ( ) M M M M   =  2 1 ( ) x y   + x s s x x     =  →0 ( ) lim 2 = 1+ ( y ) x A B y = f (x) a b x o y x M x + x M y lim 1 0 =     → M M M M x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

s'(x)=1+(y)2 .ds=+)2dx ds=/(dx)2+(dy)2 若曲线由参数方程表示 x=) y=y(t) 则弧长微分公式为ds=2+2dt 几何意义： ds =MT dx dy dx cosa sina ds ds xx+dx x @Oo⊙⊙8

则弧长微分公式为 ds x y d t 2 2 =  +  ds 1 ( y ) dx 2  = +  或 2 2 ds = (dx) + (dy) x + dx dx o x y x M dy T  几何意义: ds = MT cos ; d d =  s x sin d d = s y 若曲线由参数方程表示:    = = ( ) ( ) y y t x x t 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点M开始取弧段，其长为△、，对应切线 转角为△a,定义 弧段△s上的平均曲率 K= △0 M △s 点M处的曲率 △ da K=lim △s-→0 △S ds 注意：直线上任意点处的曲率为0！ OaoO⊙8

二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线  , 定义 弧段 s 上的平均曲率 s K   =   M M s 点 M 处的曲率 s K s   =  →  0 lim ds d = 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为

例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率 解：如图所示， △S=R△0 AaAs △ R、 ∴.K=lim △S→0 R 可见：R愈小，则K愈大，圆弧弯曲得愈厉害； R愈大，则K愈小，圆弧弯曲得愈小. OAo⊙o8

例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , s = R s K s    =  →  0 lim R 1 = 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .  s R M M  机动 目录 上页 下页 返回 结束

曲率K的计算公式 d K= 设曲线弧y=f(x)二阶可导，则由 ds anu=y(设-7ca<3 得 a arctan y' der (nuchayd 又ds=1+y2dx 故曲率计算公式为K y" (1+y2)3 当y<1时，有曲率近似计算公式K≈y” oaoo®8

当 y  1时, 有曲率近似计算公式 tan = y  ) 2 2 (    设 −   得  = arctan y  d = (arctan y )dx 故曲率计算公式为 s K d d = 2 3 (1 ) 2 y y K +   = K  y  又 曲率K 的计算公式 设曲线弧 y = f (x) 二阶可导, 则由 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明： x=x(t) (1)若曲线由参数方程 给出，则 y=y(t) K= (2+2)形 (2)若曲线方程为x=(y),则 x" K- (1+x2)形 K- y" (1+y2)3 oeo0

说明: (1) 若曲线由参数方程    = = ( ) ( ) y y t x x t 给出, 则 2 3 (1 ) 2 y y K +   = (2) 若曲线方程为 x =(y), 则 2 3 (1 ) 2 x x K +   = 2 3 ( ) 2 2 x y xy xy K     + − = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.我国铁路常用立方抛物线y=x3作缓和曲线， 6R1 其中R是圆弧弯道的半径，1是缓和曲线的长度，且1<<R 求此缓和曲线在其两个端点00,0)，B1,6R 处的曲率 说明： 铁路转弯时为保证行车 平稳安全，离心力必须 连续变化，因此铁道的 曲率应连续变化. 点击图片任意处播放暂停 ololotolol8

例2. 我国铁路常用立方抛物线 3 6 1 x Rl y = 作缓和曲线, 处的曲率. 点击图片任意处播放\暂停 说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R. 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化

例2.我国铁路常用立方抛物线y= 作缓和曲线， 6RI 其中R是圆弧弯道的半径，1是缓和曲线的长度，且1<<R. 求此缓和曲线在其两个端点00,0)，B0,6R处的曲率 解：当x∈[0，l]时 .y= ≈0 2R y”= 1 RI X .K≈y 显然 6RI Kx=0=0 oeo0

例2. 我国铁路常用立方抛物线 3 6 1 x Rl y = 作缓和曲线, 且 l << R. 处的曲率. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 当x[0,l ]时, R l 2   0 x Rl y 1  =  K  y  x Rl 1 = 显然 0; K x=0 = R K x l 1 =  2 2 1 x Rl  y  = R B y o x 3 6 1 x Rl y = l

x=acost 例3.求椭圆 (0≤t≤2π)在何处曲率最大？ y=bsint 解：x=-asint; =-acost 礻表示对参 =bcost; =-bsint 数t的导数 故曲率为 K 护-的 ab (2+2)为 (a2sin2t+b2cos2t) K最大=f)=a2sin2t+b2cos2t最小 求驻点 f'(t)=2a2sintcost-2bcostsint=(a2-b2)sin2t Ooo⊙o☒

例3. 求椭圆 在何处曲率最大? 解: 故曲率为 = ab 2 3 ( sin cos ) 2 2 2 2 a t + b t x  = −asint; y  = bcost;  x  = −acost  y  = −bsint 2 3 ( ) 2 2 x y xy xy K     + − = K 最大 f t a t b t 2 2 2 2 ( ) = sin + cos 最小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (t) 2a sint cost 2bcostsint 2  = − (a b )sin 2t 2 2 = − 求驻点: 数 的导数 表示对参 t x