呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限 1.4 无穷小无穷大

第一章 第四为 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 OO▣⊙⊙8 机元

第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大

一、无穷小 定义1.若x→时，函数f(x)→0，则称函数f(x) (或x→0) 为x→xo时的无穷小： (或x→o) 例如： 1im(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小 x-→1 1im1=0,函数1当x→o时为无穷小 x→00X 1 lim 当x→-0时为无穷小 g9⊙8

当 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 (或x → ) 为 时的无穷小 . 时为无穷小. (或x → ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1.若x→x(或x→0)时，函数f(x)→0，则 则称函数f(x)为x→x,(或x→o)时的无穷小 说明：除0以外任何很小的常数都不是无穷小！ 因为 1imC=0=V6>0,36>0, x→x0 当0<x-<6时， C-0< 显然C只能是0！ OOo⊙08 机元

说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C (或 x → ) 时 , 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x → ) 则 时的无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1.（无穷小与函数极限的关系） Iimf(x)=A三f(x)=A+&,其中a为x→xo x→X0 时的无穷小量 证：limf(x)=A x→X0 ε>0,36>0，当0<x-x0<6时有 f(x)-A<8 0=fx)-4 lim a=0 x→X0 对自变量的其它变化过程类似可证

其中 为 0 x → x 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A+ , 证: f x A x x = → lim ( ) 0   0,   0, 当 0  x − x0   时,有 f (x) − A    = f (x) − A lim 0 0 = →  x x 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在6>0（正数X),使对 切满足不等式0X)的x,总有 f(x)>M ① 则称函数f(x)当x→x(x→o)时为无穷大，记作 lim f(x)=co.(lim f(x)=0) x→Xo x→00 若在定义中将①式改为f(x)>M(f(x)<-M), 则记作 lim f(x)=+oo lim f(x)=-oo) x→Xg x→x0 (x→0） (x→00)》 OO▣⊙⊙8

二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 = − → → f x x x x ( x  X ) ( x → ) (lim ( ) =  ) → f x x (正数 X ) , 记作 ( f (x)  −M ), 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意： 1.无穷大不是很大的数，它是描述函数的一种状态 2.函数为无穷大，必定无界.但反之不真！ 例如，函数f(x)=xc0Sx,x∈(-0，+00) f(2nm)=2nπ→o(当n→oo) 但f(钙+nπ)=0 y=xCOSx 所以x→0时，f(x)不是无穷大！ Solo☒

注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.证明1im =00 x→1x-1 证：任给正数M,要使 县要取ò对满足0M 所以1im =00 x1x-1 说明：若1imf(x)=o,则直线x=x0 为曲线y=f(x)的铅直近线 渐近线 OOo⊙⊙8

例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 , 1 M  = 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 0 x =x 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、无穷小与无穷大的关系 定理2.在自变量的同一变化过程中， 若f()为无穷大，则 为无穷小； f (x) 若为无穷小且的20，则 为无穷大 (自证) 说明： 据此定理，关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论： Sool☒

三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f (x)  0, 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小与函数极限的关系 Thl 3.无穷小与无穷大的关系 Th2 思考与练习 P41题1,3 P41题3提示： 川=1+2≥-2,0<四≤1042 作业 P412(1),(2);7 OOo⊙O8

内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2 思考与练习 P41 题1 , 3 P41 题3 提示: 作业 P41 2 (1) , (2) ; 7 第五节 目录 上页 下页 返回 结束