呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第四章 不定积分 4.4 有理函数积分

第四节 第四章 有理西数的积分 ·基本积分法：直接积分法；换元积分法； 分部积分法 求导 ·初等函数 初等函数 积分 本节内容 一、 有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例

第四节 • 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 • 初等函数 求导 初等函数 积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 有理函数的积分 本节内容: 第四章

一、有理函数的积分 有理函数： R(x)= P(x) a0x”+a41xi-1+.+an (x) boxm.bm m≤n时，R(x)为假分式，m>n时，R(x)为真分式 有理函数 相除 多项式真分式 分解 若干部分分式之和 其中部分分式的形式为 A Mx+N (k∈Nt,p2-4q<0) (x-a)k (x2+px+q)k Oo▣⊙08

一、 有理函数的积分 ( ) ( ) ( ) Q x P x R x = = n n n a x + a x + + a 0 1 −1  有理函数: m  n 时, 为假分式; m  n 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 k k x p x q M x N x a A ( ) ; ( ) 2 + + + − ( N , 4 0) 2  −  + k p q 若干部分分式之和 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.将下列真分式分解为部分分式： (1) x+3 (3) x(x-1)2 (2) x2-5x+6 (1+2x)1+x2) 解：(1)用拼凑法 2=x=x-= x(x-1)2-x(x-1)2 (x-1)2x(x-1) 、1 _x-(x-1) (x-1)2 x(x-1) 11 1 2x-1

例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 − = x x − x x 2 ( 1) 1 − = x ( 1) 1 − − x x 2 ( 1) 1 − = x ( −1) − x x 2 ( 1) 1 − = x 1 1 − − x x 1 + x −(x −1) x −(x −1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(2)用赋值法 x+3 x+3 A B x2-5x+6 (x-2)x-3)x-2 x-3 A=(x-2)原式 x+3 =2x-3x=2-5 B=(x-3)原式 =2x-3-6 x+3 故 原式=-5 6 x-2 x-3 Ooo⊙o8

(2) 用赋值法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x − 2 = x A − 3 + x B  A = (x − 2)原式 x = 2 3 2 3 − = + = x x x = −5 B = (x −3)原式 x = 3 2 3 3 − = + = x x x = 6 故 2 5 − − = x 原式 3 6 − + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

(3)混合法 A Bx+C (1+2x)1+x2)1+2x 1+x2 4 A=(1+2x)原式 分别令x=0,1代入等式两端 4 2 1= +C B= 5 5 1 C= 615 5 赋乱 Qao⊙o&

(3) 混合法 = (1+ 2 )(1+ ) 1 2 x x + + x A 1 2 2 1 x Bx C + + A = (1+ 2x)原式 2 1 x = − 5 4 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = +C 5 4 1 15 2 4 6 1 B +C = + 5 2 B = − 5 1 C = 原式 = 1 2x 4 5 1  +    + − − 2 1 2 1 x x

四种典型部分分式的积分： 1,d=4n-+C ) 1g 变分子为 兰(2x+p)+N-M2 2 4j4p+g Mx+N dx 再分项积分 (p2-4g<0,n≠1) oeo0

四种典型部分分式的积分: = Aln x − a +C x a C (n 1) n A n − + − = 1− ( ) 1  − x x a A 1. d  − x x a A n d ( ) 2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束  + + + x x px q M x N 3. d 2  + + + x x px q M x N n d ( ) 4. 2 变分子为 (2 ) 2 x p M + 2 M p + N − 再分项积分

dx 2.求∫a+200+可 解：已知 -经2打 -号n1+2ghl++号arctanx+(

例2. 求 解: 已知 (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x   = 5 1 1 2x 4 + 2 1 2 x x + −   + + 2 1 1 x  + +  = x x 1 2 d(1 2 ) 5 2 原式  + + − 2 2 1 d(1 ) 5 1 x x  + + 2 1 d 5 1 x x ln 1 2x 5 2 = + ln(1 ) 5 1 2 − + x + arctan x +C 5 1 例1(3) 目录 上页 下页 返回 结束

服利2 dx. 或 -dx d(x+1) =h2+2x+3-2ata5 +c 思考：如阿味一2 提示：变形方法同例3，并利用P209例9 oooo08

例3. 求 解: 原式 x x x d 2 3  2 + + = (2 2) 3 2 1 x + −  + + + + = 2 3 d( 2 3) 2 1 2 2 x x x x ln 2 3 2 1 2 = x + x +  + + + − 2 2 ( 1) ( 2) d( 1) 3 x x C x + + − 2 1 arctan 2 3 思考: 如何求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9

说明：将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行， 但不一定简便，因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法 *-225a -5x2+4 (x2+1)(x2+4) ean +arcdanx+C 入 Q9og⑧

 + + + x x x d ( 1)( 4) 2 2 ( 1) ( 4) 2 2 x + + x + 例4. 求  + + + = x x x x x I d 5 4 2 5 4 2 3  + + + + x x x x d 5 4 2 5 4 2 2  + + + + = 5 4 d( 5 5) 2 1 4 2 4 2 x x x x ln 5 4 2 1 4 2 = x + x + 2 arctan 2 1 x + + arctan x +C 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法

*灯43山 解原武式=∫+2222) (x2+2x+2)2 的1 wctont+ oooo08

例5. 求 解: 原式  + + = x x x d ( 2 2) 2 2 ( 2 2) 2 x + x + − (2x + 2)  + + = ( 1) 1 d 2 x x  + + + + − 2 2 2 ( 2 2) d( 2 2) x x x x = arctan(x +1) 2 2 1 2 + + + x x +C 机动 目录 上页 下页 返回 结束