呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分 5.2 牛莱公式

第二为 第五章 微积分的基本公式 一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿-莱布尼兹公式 OOo⊙08

二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 一、引例 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分的基本公式 第五章

、 引例 在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t) 之间有关系： s'(t)=v(t) 物体在时间间隔[口，T,]内经过的路程为 ∫)d=2)-sg) 这里s(t)是v(t)的原函数 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性

一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = −  这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、积分上限的函数及其导数 定理1.若f(x)∈C[a,b],则变上限函数 Φ(x)=∫f)dt Φ(x 是f(x)在[a,b]上的一个原函数. 证：x,x+h∈[a,b],则有 x b x +月-四-0f0d-f0a] x+h h =6Jf0d1=f5)(x<5<x+) .'f(x)∈C[a,b] ∴.Φ'(x)=lim Φ(x+h)-Φ(x) =limf()=f(x) h→0 h h→0 Ooo⊙⊙8

y = f (x) a b x o y (x) x x + h  二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数   = x a (x) f (t)dt 证: x, x + h[a, b], 则有 h (x + h) −(x)  h 1 =    − + x a x h a f (t)dt f (t)dt  + = x h x f t t h ( )d 1 = f () (x   x + h) h x h x h ( ) ( ) lim 0  + − = → lim ( ) 0 f  h→  (x) = = f (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 若

说明： 1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路. 2)变限积分求导&∫/0)d1=- &”roa=ey dlrwd-[aoa+"oar] =f[e(x)]e(x)-flw(x)]w(x)

说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 变限积分求导:  ( ) ( )d d d x a f t t x  = f [(x)](x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束  ( ) ( ) ( )d d d x x f t t x   = f [(x)](x) − f [(x)](x)   +   =   ( ) ( ) ( )d ( )d d d x a a x f t t f t t x  

例1.求lim x→0 解： 原式 =-lime-cos'x(-sinx) 1 x→0 2x 2e 例2.确定常数a,b,c的值，使 ax-sinx lim =c(c≠0). (+2)dr 0-0 解：x→0时，ax-sinx→0，c≠0，.b=0. 原式=lim, -cosx x→0ln(1+x2) lim a-cosx =C c0,故a=1.又由1-c0sx~2x2,得c= o0o0

( sin ) 2 cos e x x  − − 例1. 求 解: 原式 0 lim → = − x 0 0 2x 2e 1 = 说明 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解:  b = 0. 原式 = c ≠0 , 故 a =1. 又由 ～ , 得 . 2 1 c =

例3.设f(x)在[0，+oo)内连续，且f(x)>0,证明 r-60afgj0du 只要证 F'(x)>0 在(0，+∞)内为单调递增函数 证：F=xff0)d (f()d) f()()f()dt f()(x-5)f(5)x0 (at)2 (6f0)d)2 (0<5<x) ∴.F(x)在(0，+o0)内为单调增函数 oo⑧

= f x t f t t x ( ) ( )d 0  − 例3. 证明 在 内为单调递增函数 . 证: ( ) 2 0 f (t)dt x  x f x f t t x ( ) ( )d 0  ( ) 2 0 f (t)dt x  f x f t t x ( ) ( )d 0  (x −t)  0 只要证 F(x)  0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = ( ) 2 0 f (t)dt x  f (x) (x −) f () x (0    x)

三、牛顿一莱布尼兹公式 定理2.设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原 函数，则∫fx)dr=F(b)-F(a)(牛顿-莱布尼兹公式) 证：根据定理1，∫f(x)dr是f()的一个原函数，故 F(x)=∫f(x)dx+C 令x=a,得C=F(a,因此∫f(x)d=F(x)-F(a) 再令x=b,得 ∫f0)dr=rb)-5a作[r(e治=F)& Oao⊙⊙8 机

三、牛顿 – 莱布尼兹公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = −  ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据定理 1, 故 F x f x x C x a = +  ( ) ( )d 因此 f (x)dx F(x) F(a) x a = −  得 记作 定理2. 函数 , 则

5例4.计算11+ 3 dx 解 3 -1 = arctan√3-arctan(-l) -元 例5.计算正弦曲线y=sinx在[0，π]上与x轴所围成 的面积 y y=sinx 解：A=sinxdx =-COSx 0-1=2 0 πx

例4. 计算 解: x x x arctan 1 3 d 1 2 = + − 1 3 − = arctan 3 − arctan(−1) 3  =  12 7 = 例5. 计算正弦曲线 的面积 . 解:  =  0 A sin xdx = −cos x 0  = −[−1−1] = 2 ) 4 (  − − 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x y = sin x 

例6.汽车以每小时36km的速度行驶，到某处需要减 速停车，设汽车以等加速度a=-5m%,刹车，问从开始刹 车到停车走了多少距离？ 解：设开始刹车时刻为t=0,则此时刻汽车速度 =36(K)=3600(g)=10(g) 刹车后汽车减速行驶，其速度为 v(t)=vo+at =10-5t 当汽车停住时，v(t)=0,即10-5t=0,得t=2(s) 故在这段时间内汽车所走的距离为 s=)d1=00-50)dt=[10r-2]6=10(m) Ooo⊙o8 广士

例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 速停车, 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 10( ) s ( )= m s m 3600 361000 = 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时, 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为  = 2 0 s v(t)dt  = − 2 0 (10 5t)dt   2 2 5 = 10t − t =10(m) 0 2 刹车, 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 车到停车走了多少距离?

内容小结 1.微积分基本公式 设f(x)∈C[a,b],且F'(x)=f(x),则有 ["f(x)dx=f(5)(b-a)=F(g)(b-a)=F(b)-F(a) 积分中值定理 微分中值定理 牛顿-莱布尼兹公式 2.变限积分求导公式 Qao⊙⊙8

内容小结 设 f (x)C[a,b], 且F(x) = f (x), 则有 1. 微积分基本公式 =  f x x b a ( )d 积分中值定理 = F()(b − a) = F(b) − F(a) 微分中值定理 f ()(b − a) 牛顿 – 莱布尼兹公式 2. 变限积分求导公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束