呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 空间解析几何与向量代数 7.2 点积叉积（数量积、向量积、混合积）

第二节 第七章 数量积向量积混合积 一、 两向量的数量积 二、两向量的向量积 *三、向量的混合积 OOo⊙O8

*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七章

一、两向量的数量积 引例.设一物体在常力F作用下，沿与力夹角为0 的直线移动，位移为了，则力F所做的功为 W=F‖cos0 1.定义 设向量d,b的夹角为0，称 S M2 记作 ab W=F.3 为a与b的数量积（点积） Oao⊙@8

M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动,  W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos  W F s  =  M2 a b 为a与b的 a, b s 机动 目录 上页 下页 返回 结束

当a≠0时，b在a上的投影为 16cos0记作Pri,6 故 ab=a Prja b 同理，当b≠0时， a.b=bPrjpa 2.性质 a≠0，b≠0 (l)）aa=a2 则a.b=0 (2),b为两个非零向量，则有 π ab=0=d⊥b (a,i= 2 Ooo⊙⊙8

 b 在a上的投影为   记作 故 同理,当 0 时,   b  2. 性质 为两个非零向量, 则有 b Prja  b a b = a Prja  b (1) a  a = (2) a,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a  0, b  0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.运算律 (I)交换律ab=ba (2) 结合律（几，u为实数） (2)b=a:(=(d.b) (a+) (a)(ub)=(a.(ub) =u(a.b) Prje a Prjab (3)分配律(d+b)d=d,c+b Prjc(@+b) 事实上，当c=可时，显然成立，当c≠0时 (@+b).c=cPrjc(a+b)=c|(Prje@+Prjeb) =GPrjca+c Prjcb=a.c+b.c Oao⊙⊙☒

3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a)( b) =  ( a ( b)) =   (a b) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c  0时 c (a + b) b a a Prj c  b c Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Prj + Prj = c Prj c  a + c Prj c  b = a  c + b c Prj (a b) c  + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.证明三角形余弦定理 c2 a2 +b2-2abcos0 证：如图.设 CB=a,CA=b,AB=c 则 c-a-b B c2=(a-(a-b)=dd+6.6-2ab =a2+62-2a6cos0 a=a,b=bl.c=7 c2 =a2 +b2-2abcos0 Ooo⊙⊙8

A B C  a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − ab 如图 . 设 CB = a, CA = b, AB = c = 2 c (a −b)(a −b)= a  a + bb − 2a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c 机动 目录 上页 下页 返回 结束

4.数量积的坐标表示 设a=axi+a,j+a.k,b=bi+b,j+b.K,则 a.b=(axi+ay j+azK)(bsi+by j+b-k) ii=j=(=1,i了=jk=i=0 a·b=abx+aby+ab 两向量的夹角公式 当a,b为非零向量时，由于a.b=albcos0,得 cos0 a.b axbx +a,by +a_b aa++ab+b+h ogo⊙o☒

4. 数量积的坐标表示 设 则 = 0 x x y y z z =a b + a b + a b 当 为非零向量时, cos = = x x y y z z a b + a b + a b 2 2 2 ax + ay + az 2 2 2 bx + by + bz 由于 a b cos a a i a j a k , = x + y + z b b i b j b k , = x + y + z (a i + a j + a k ) x y z (b i b j b k ) x + y + z i  j = j  k = k i a b a b 两向量的夹角公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.已知三点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求 ∠AMB A 解：MA=(1,1,0),MB=(1,0,1) B 则 coS∠AMB= MA.MB M MAMB 1+0+0 √/2/2 2 故 ∠AMB= 3 Q008

MA = ( ), MB = ( ) = B M 例2. 已知三点 M (1,1,1), A(2,2,1),B(2,1,2),  AMB . A 解: 1, 1, 0 1, 0, 1 则 cos AMB = 1+0 +0 2 2 AMB = 求 MA  MB MA MB 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平 面域，且)与该平面域的单位垂直向量的夹角为0， 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度 为p). 解：P=PA coS0 为单位向量 -PAv.n 单位时间内流过的体积 4 cos0 Oa▣oo&

为  ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 与该平面域的单位垂直向量  A 解: 单位时间内流过的体积 P = =  A 且 的夹角为 v v v  n 为单位向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、两向量的向量积 引例.设O为杠杆L的支点，有一个与杠杆夹角为0 的力F作用在杠杆的P点上，则力F作用在杠杆上的力 矩是一个向量M: M=0F=OpFsin0 OP三F三M符合右手规则 M⊥OP M上F 00=OP sine Oao⊙o8

二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 OQ = O P L   Q 符合右手规则 = OQ F = OP F sin OP sin OP  F  M M ⊥ OP M 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 F o P F M M ⊥ F 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1.定义 设a,b的夹角为0，定义 方向：cLa,c1b且符合右手规则 向量c 模：c=a bsin0 称c为向量a与b的向量积，记作 c=dxb(叉积) 引例中的力矩M=OP×F =axb 思考：右图三角形面积 S=引a×b

1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , 设 a, b的夹角为， c c ⊥ a, c ⊥ b c = a b sin b a c 称 c 为向量 a 与b的 c = ab = ab 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积  a b S＝ 机动 目录 上页 下页 返回 结束