呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第一章 函数与极限 第7节 无穷小的比较

第七节无穷小的比较 教学目的：掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限 教学重点：无穷小的比较方法，利用等价无穷小求极限 教学难点：利用等价无穷小求极限 教学过程： 我们已经知道，两个无穷小的和、差、积仍是无穷小。但两个无穷小的商却会出现不同 的情形。例如，当x→0时，2x,x2,snx都是无穷小，而 这种情况的产生，在于各个无穷小趋向于零的快慢"”不一样，在x→0的过程中，x2→0 比2x→0“快些”，反过来，2x→0比x2→0“慢些”，而sinx→0与x→0“快慢相仿”。 对于无穷小之间的这种情况，我们引入无穷小的阶的概念。 定义1设a,B是自变量在同一变化过程中的无穷小，1im号也是这一过程中的极限。 如果m=0，就说a是比B高阶的无穷小，记作a=: 如果img=o,就说a是比B低阶的无穷小： 如果m=c0,就说a与B是同阶无穷小， 如果m分=l,就说a与B是等价无穷小，记作a-B 显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形。 根据定义，x→0时，x2是比2x高阶的无穷小：2x是比x2低阶的无穷小：sinx与x是 等价无穷小：2x与six是同阶无穷小。关于等价无穷小，有下面的性质： 定理1若a-a,B-户，且m分存在，则m合m会： 证mg=mg会名=m分m会mg=m会 这个性质表明，求两个无穷小之比的极限时，把每一个（或其中的一个无穷小）换成它 的等价无穷小，不改变比的极限值。如果用来代换的无穷小选择得当，可以使计算简化。 例1求mb≠0 解因为当x→0时，sinax-ax,tan bx-bx。所以 例2求m2+3x sinx

第七节 无穷小的比较 教学目的：掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：无穷小的比较方法，利用等价无穷小求极限 教学难点：利用等价无穷小求极限 教学过程： 我们已经知道，两个无穷小的和、差、积仍是无穷小。但两个无穷小的商却会出现不同 的情形。例如，当 x → 0 时， 2 2 , ,sin x x x 都是无穷小，而 2 2 0 0 0 0 2 sin sin 1 lim 0, lim , lim 1, lim x x x x 3 2 2 x x x x → → → → x x x x = =  = = 。 这种情况的产生，在于各个无穷小趋向于零的“快慢”不一样。在 x → 0 的过程中， 2 x → 0 比 2 0 x → “快些”，反过来， 2 0 x → 比 2 x → 0 “慢些”，而 sin 0 x → 与 x → 0 “快慢相仿”。 对于无穷小之间的这种情况，我们引入无穷小的阶的概念。 定义 1 设  , 是自变量在同一变化过程中的无穷小， lim  也是这一过程中的极限。 如果 lim 0   = ，就说  是比  高阶的无穷小，记作    = ( ) ； 如果 lim  =  ，就说  是比  低阶的无穷小； 如果 lim 0 c   =  ，就说  与  是同阶无穷小； 如果 lim 1   = ，就说  与  是等价无穷小，记作   。 显然，等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形。 根据定义， x → 0 时， 2 x 是比 2x 高阶的无穷小； 2x 是比 2 x 低阶的无穷小； sin x 与 x 是 等价无穷小； 2x 与 sin x 是同阶无穷小。关于等价无穷小，有下面的性质： 定理 1 若  ，   ，且 lim    存在，则 lim lim      =  。 证 lim lim( ) lim lim lim lim                      =   =   =      。 这个性质表明，求两个无穷小之比的极限时，把每一个（或其中的一个无穷小）换成它 的等价无穷小，不改变比的极限值。如果用来代换的无穷小选择得当，可以使计算简化。 例 1 求 0 sin lim ( 0) x tan ax b → bx  。 解 因为当 x → 0 时， sin , tan ax ax bx bx 。所以 0 0 sin lim lim x x tan ax ax a → → bx bx b = = 。 例 2 求 3 0 sin lim x 3 x → x x +

解因为当x→0时，snx-x,所以 平兮 小结与思考： 本节主要介绍了无穷小的比较方法，利用等价无穷小求极限。 作业：作业见作业卡

解 因为当 x → 0 时， sin x x ，所以 3 3 2 000 sin 1 1 lim lim lim xxx 3 3 3 3 x x →→→ x x x x x = = = + + + 。 小结与思考： 本节主要介绍了无穷小的比较方法，利用等价无穷小求极限。 作业：作业见作业卡