呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第二章 导数与微分（习题课）

习题课 教学难点：隐函数求导、高阶导数、对参数方程高阶求导. 教学内容：总结第二章内容，解决作业中出现的问题，课外典型题目讲解 一、 主要内容 1导数的概念，导数的几何意义，平面曲线的切线方程和法线方程，左、右导数的概 念及函数可导的充要条件。 2导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的求导公式 3隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，反函数的导数 4高阶导数的概念，菜布尼兹公式。 5微分的概念，函数微分的几何意义，微分的四则运算法则和一阶微分不变性 二、例题选讲 1,求曲线y=x上与直线y=-2x平行的切线方程，与直线y=2x垂直的法线方程。 解直线y=2x的斜率为2，曲线y=hx的斜率y==2,得x=) 代入曲线方程得y=h)=-h2 故切线方程为y+h2=24x- 即y=2x-1-h2 请同学们自己计算一下与直线y-2x垂直的法线方程。 答案：=-+h2) m=-心 f"0=e2+2e2=e21+2r） 3.设f(x)={ 如上0，英中a为宿数，且当<0时，使r有意义，时论心取 0 x=0 1

1 习题课 教学目的：巩固第二章内容， 掌握解题方法与技巧. 教学重点：导数、 微分、复合函数的导数. 微分在近似计算中的应用. 教学难点：隐函数求导、高阶导数、对参数方程高阶求导. 教学内容：总结第二章内容,解决作业中出现的问题, 课外典型题目讲解. 一、 主要内容 1 导数的概念，导数的几何意义，平面曲线的切线方程和法线方程，左、右导数的概 念及函数可导的充要条件. 2 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的求导公式. 3 隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，反函数的导数. 4 高阶导数的概念，莱布尼兹公式. 5 微分的概念，函数微分的几何意义，微分的四则运算法则和一阶微分不变性. 二、 例题选讲 1． 求曲线 y = ln x 上与直线 y = 2x 平行的切线方程，与直线 y = 2x 垂直的法线方程。 解 直线 y = 2x 的斜率为 2，曲线 y = ln x 的斜率 2 1  = = x y ，得 2 1 x = 代入曲线方程得 ln 2 2 1 y = ln = − 故切线方程为 ) 2 1 y + ln 2 = 2(x − 即 y = 2x −1− ln 2 请同学们自己计算一下与直线 y = 2x 垂直的法线方程。 （答案： ln 2 4 1 2 1 y = − x + − ） 2. 设 tx x x f t t 2 1 ( ) lim 1       = + → ，求 f t( ) 解： t t x x te x f t t 2 2 1 ( ) lim 1 =               = + → ( ) 2 (1 2 ) 2 2 2 f t e te e t t t t  = + = + 3． 设      =  = 0 0 0 1 sin ( ) x x x x f x  ，其中  为常数，且当 x  0 时，使  x 有意义，讨论  取

何值时，在x=0点①f(x)连续：②f(x)可导：③f(x)的导函数连续 解：①要f)在x=0连续，即mxsn=0,只要a>0: ②要f(x)在x=0可导，按导数定义应有 xsin -0 mx-0=ms动0存在，只要a-1>0,即a>1 ③婴fx)的导函数在x=0点连续，由f'(0)=0及 r=msnrcos 只要=-(o-0得a-2>0,a>2 4度o-1 ,试确定常数a和b,使函数f(x)在x=0点可导. 解：因为f(x)在x=0点应连续，由 mf国=ma+h1+x=a lim f(x)=lim [ox+2]=2 f0)-2→a=2 再看fx)在x=0点左右导数 0=0=鸟4-2=1生9 10=0-s+2-2=b x-0 知b=1 (另解：f0)=mf)=ma+h1+-2=m1+=1 0=马/a)=只(+2y=巴如+2-2-b.从6=1D

2 何值时，在 x = 0 点① f (x) 连续；② f (x) 可导；③ f (x) 的导函数连续. 解： ①要 f (x) 在 x = 0 连续，即 0 1 lim sin 1 0 = − → x x x  ，只要   0 ； ②要 f (x) 在 x = 0 可导，按导数定义应有 0 1 lim sin 0 0 1 sin lim 1 0 0 = = − − − → → x x x x x x x   存在，只要  −1 0 ，即  1 ③要 f (x) 的导函数在 x = 0 点连续，由 f (0) = 0 及 x x x f x x 1 cos 1 ( ) sin −1 −2  = −          = − − x x x x 1 cos 1 sin 2   只要 0 lim x→ 0 1 cos 1 sin 2  =      = − − x x x x  得  − 2  0，  2. 4． 设    +  + +  = 2 0 ln(1 ) 0 ( ) bx x a x x f x ，试确定常数 a 和 b ，使函数 f (x) 在 x = 0 点可导. 解： 因为 f (x) 在 x = 0 点应连续，由 f x a x  a x x = + + = → + → + lim ( ) lim ln(1 ) 0 0 lim ( ) lim  2 2 0 0 = + = → − → − f x bx x x f (0) = 2  a = 2 再看 f (x) 在 x = 0 点左右导数 1 ln(1 ) lim ln(1 ) 2 lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 0 = + = + + − = − −  = + → + → + → + x x x a x x f x f f x x x b x bx x f x f f x x = + − = − −  = − → − → − 2 2 lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 知 b =1 （另解：   1 ln(1 ) (0) lim ( ) lim ln(1 ) 2 lim 0 0 0 = + =   =  = + + − + → + → + → + x x f f x a x x x x  =  = − → − (0) lim ( ) 0 f f x x b x bx bx x x = + − +  = → − → − 2 2 lim 2 lim 0 0 （ ） ，从而 b =1 ） 6. 设     + = = 2 t y t e e x te ，求 2 0 2 t= dx d y

xi=te'+e',xm=1 e'+e'y=0,当t=0时，x=0,y=0 得 =-e5,yo=-1 来品 器（上0器 代入初值，当1=0，y=0,x=1,y=-1,得 2-11-0 7.在装满水的正圆雏形漏斗，顶部直径为12厘米，高18厘米，下接直径为10厘米的圆 柱形水桶，当漏斗水深为12厘米时，水平面下降速奉为每秒1厘米，试求此时水 桶的水平面上升速率？ 解如国所示1，H皆为时间的通数后食即一 水桶的水全部由漏斗注入，得关系式： π5H0）=π62.18-π20h0 12 75H0=648-gh0 18 ro-号o) 代入h=12,h'0=-1 国 得0-品5-兰保表 因此，水桶的水平面上升速率为光是米欣 3

3 解： t t x te e t  = + ， x  t=0 =1 +  t  = 0 t y e e y ，当 t = 0 时， x = 0， y = 0 得 t y t y e −  = − ， yt  t=0 = −1 t e e t e dx dy y t t y + = − + = − − − (1 ) 1   2 2 2 (1 ) 1 (1 ) 1 x t e y t e t x e dx d y t y t y t t y   + − −  + − =            + = − − − 代入初值，当 t = 0， y = 0， xt  = 1， yt  = −1 ，得 0 1 1 0 2 2 t= = − + = dx d y 7. 在装满水的正圆锥形漏斗，顶部直径为 12 厘米，高 18 厘米，下接直径为 10 厘米的圆 柱形水桶，当漏斗水深为 12 厘米时，水平面下降速率为每秒 1 厘米，试求此时水 桶的水平面上升速率？ 解： 如图所示： r， h ， H 皆为时间 t 的函数 18 6 = h r ，即 r h 3 1 = 水桶的水全部由漏斗注入，得关系式： ( ) ( ) 3 1 6 18 3 1 5 ( ) 2 2 2   H t =    − r t  h t ( ) 9 1 75 ( ) 648 3 H t = − h t 代入 h =12， h(t) = −1 得 25 16 3 75 12 ( ) 12 =  H t = （厘米/秒） 因此，水桶的水平面上升速率为 25 16 厘米/秒.        = − ( ) 3 1 75 1 ( ) 2 H t h h t