新疆大学：《数学分析》课程教学资源（试卷与答案）数学分析考试试卷4

课程代码：B052917E05 座位号： 新疆大学2006一2007学年第一学期期末考试 《数学分析I》(A)试题 姓名 学号： 专业： 学院 数学与系统科学学院班级： 2007年1月12日 装 题号一 二三四五六七八总分 订 得分 线 得分评卷人 内 填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分，） 答 订 1、平面点集E={,0≤号+≤8小的边界点集为 T2 题 无 2、函数u=arcsin的定义域 效 3、极限职g（2+守) 4=i,期器 du 0z1 线林 5、二重积分f红，)drdg,其中D由x=1,x=2,y=x2,y=x4围成，将它 化为二次积分应为 6、第一类曲线积分f(红，)ds,1为联结O(0,0),A(1,1)两点的直线，将它化 为定积分应为 《数学分析Ⅲ》(A)试题第1页（共6页）

❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➅➜➇è➭B052917 E05 ➀➔Ò➭ ★õ➀➷ 2006—2007 ➷❝✶➌➷ÏÏ✧⑧➪ ✺ê➷➞ÛIII✻↔A↕➪❑ ✻➯➭ ➷Ò➭ ❀➆➭ ➷✓➭ ê➷❺❳Ú❽➷➷✓ ⑩❄➭ 2007 ❝ 1 ✛ 12 ❋ ❑Ò ➌ ✓ ♥ ♦ ✃ ✽ Ô ❧ ♦➞ ✚➞ ✚➞ ➭ò❁ ➌✦❲➌❑↔✢➀❑✁10✂❑➜③❑3➞➜✁30➞➜↕ 1✦➨→✿✽E =  (x, y)     1 ≤ x 2 9 + y 2 4 ≤ 8  ✛❃✳✿✽➃ . 2✦➻êu = arcsin y x ✛➼➶➁ . 3✦✹⑩ lim (x,y)→(∞,∞)  xy x 2 + y 2 x = . 4✦u = x z y➜❑ ∂ u ∂ x = ➜ ∂ u ∂ y = ➜ ∂ u ∂ z = . 5✦✓➢➮➞ ZZ D f(x, y)dxdy➜Ù➙D❞x = 1, x = 2, y = x 2 , y = x 4➀↕➜ò➜ ③➃✓❣➮➞❆➃ . 6✦✶➌❛➢❶➮➞ Z l f(x, y)ds➜l➃é✭O(0, 0), A(1, 1)ü✿✛❺❶➜ò➜③ ➃➼➮➞❆➃ . ✺ê➷➞ÛIII✻↔A↕➪❑ ✶ 1 ➄↔✁ 6 ➄↕

7、第二类曲线积分d+dy,l为曲线x=at-sint)y= a(1-cost)从(0,0)到（π，0）的一段孤，该积分的值是 8、设F()= f红，)dc,若f红，)，(c,)连续p(g)()存在， e(u) 则F()= 10、广义球坐标系x=apsincos0y=bpsinsin0之=cpcos的体积元素 为 得分评卷人 二、判断题（以下命题正骑在括号内划“V”,错误划“×”，每小题4分 共20分.) 1、两个二次极限存在而不相等，二重极限必不存在.（) 2、f(红，)在点(0,0)的两个偏导数存在，则f(x,)在(x0,0点可微.(） 3、u=f红，)的极值点由偏导数不存在的点和偏导数为0的点组成.() 4函数F(,)=y2-x2(1-x2)=0在(1,2)点的邻域内可以决定一个连续可导 函数y=(x).( 5、 fc,)dr在y∈6，d上一致收敛的充要条件 |+ 是即 f红，)d=0.(） 《数学分析I》(A)试题第2页（共6页）

7✦ ✶ ✓ ❛ ➢ ❶ ➮ ➞ Z l dx + dy➜l➃ ➢ ❶x = a(t − sin t) y = a(1−cost)❧(0, 0)✔(π, 0)✛➌ã❧➜❚➮➞✛❾➫ . 8✦ ✗F(y) = Z ψ(y) ϕ(y) f(x, y)dx➜ ❡f(x, y) fy(x, y)ë ❨ϕ 0 (y) ψ 0 (y)⑧ ✸ ➜ ❑F 0 (y) = . 9✦P(x, y) Q(x, y)✸üëÏ➠➁D❙❦ë❨➔✓ê,c➃➵✸D❙✛✹➫➜ ❑ R c P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0✛➌❻➾❻❫❻↔➄➁Ñ➌❻❂➀↕➫ . 10✦✷➶➙❿■❳x = aρ sin ϕ cos θ y = bρ sin ϕ sin θ z = cρ cos ϕ✛◆➮✄❷ ➃ . ✚➞ ➭ò❁ ✓✦✞ä❑↔➧❡➲❑✔✭✸✮Ò❙②“∨”➜❺Ø②“×”➜③✂❑4➞➜ ✁20➞✧↕ 1✦ü❻✓❣✹⑩⑧✸✌Ø❷✤➜✓➢✹⑩✼Ø⑧✸✧↔ ↕ 2✦f(x, y)✸✿(x0, y0)✛ü❻➔✓ê⑧✸➜❑f(x, y)✸(x0, y0)✿➀❻.↔ ↕ 3✦u = f(x, y)✛✹❾✿❞➔✓êØ⑧✸✛✿Ú➔✓ê➃0✛✿⑤↕✧↔ ↕ 4✦➻êF(x, y) = y 2 − x 2 (1 − x 2 ) = 0✸(1,2)✿✛✙➁❙➀➧û➼➌❻ë❨➀✓ ➻êy = y(x)✧↔ ↕ 5✦ Z +∞ a f(x, y)dx ✸ y ∈ [c, d]þ ➌ ➋ ➶ ñ ✛ ➾ ❻ ❫ ❻ ➫ lim A→+∞ sup y∈[c,d]       Z +∞ A f(x, y)dx       = 0✧↔ ↕ ✺ê➷➞ÛIII✻↔A↕➪❑ ✶ 2 ➄↔✁ 6 ➄↕

得分评卷人 三、计算题（每小题5分，共10分。） 1、设测=小，而是由方程=h所确定的xy的函数，试：密 装 订 线 内 答 可 题 2、计算包++g-地，c为侬逆时针方向绕国周2十心=心2一周的 无 x2+2 路径. 效 《数学分析Ⅲ》(4)试题第3页（共6页）

❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ✚➞ ➭ò❁ ♥✦❖➂❑↔③✂❑5➞➜✁10➞✧↕ 1✦✗y = f(x, t)➜✌t➫❞➄➜ x t = ln t y ↕✭➼✛x,y✛➻ê➜➪➛➭ dy dx✧ 2✦❖➂ I c (y + x)dx + (y − x)dy x 2 + y 2 ➜c➃➑❴➒✂➄➉✼☛➧x 2 + y 2 = a 2➌➧✛ ➫➺✧ ✺ê➷➞ÛIII✻↔A↕➪❑ ✶ 3 ➄↔✁ 6 ➄↕

得分评卷人 四、证明题（每小题8分，共24分.） 2、已知f)在a,上连续， 《数学分析I》(A)试题第4页（共6页）

✚➞ ➭ò❁ ♦✦②➨❑↔③✂❑8➞➜✁24➞✧↕ 1✦ ✗f(x, y) = |x − y| ϕ(x, y)➜ Ù ➙ϕ(x, y)✸(0,0)✿ ✙ ➁ ❙ ë ❨ ➜ ② ➨➭f(x, y)✸✿(0,0)➀❻✛➾❻❫❻➫ϕ(0, 0) = 0. 2✦➤⑧f(x)✸[a, b]þë❨➜②➨➭2 Za 0 f(x)dx Za x f(y)dy =   Za 0 f(x)dx   2 0 . ✺ê➷➞ÛIII✻↔A↕➪❑ ✶ 4 ➄↔✁ 6 ➄↕

3、1(= edr,证明：(i)当te[to,+oo),其中to>0,时积分一致收 敛 (i) 昌t∈0，+0)时，积分非一致收敛 装 订 线 内答 题 无 效 得分评卷人 五、综合题（每小题8分，共16分.） 1、在一个三角形中，三个内角的正弦的乘积取得最大值时，各内角之值应该 是多少？ 《数学分析Ⅲ》(A)试题第5页（共6页）

❈ ➽ ❶ ❙ ❽ ❑ ➹ ✟ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❈ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ➽ ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ❶ ** ** ** ** ** ** ** ** ** 3✦I(t) = Z +∞ 0 e −tx2 dx➜②➨➭↔i↕✟t ∈ [t0, +∞)➜Ù➙t0 > 0➜➒➮➞➌➋➶ ñ✧↔ii↕✟t ∈ (0, +∞)➒➜➮➞➎➌➋➶ñ✧ ✚➞ ➭ò❁ ✃✦♥Ü❑↔③✂❑8➞➜✁16➞✧↕ 1✦✸➌❻♥✍✴➙➜♥❻❙✍✛✔✉✛➛➮✒✚⑩➀❾➒➜❼❙✍❷❾❆❚ ➫õ✟➸ ✺ê➷➞ÛIII✻↔A↕➪❑ ✶ 5 ➄↔✁ 6 ➄↕

2、计算曲面积分x3dydz+ydrdz+x3drdy,其中S为x2+y2+2=a2的 外表面 《数学分析I》(A)试题第6页（共6页）

2✦❖➂➢→➮➞ ZZ S x 3 dydz + y 3 dxdz + x 3 dxdy➜Ù➙S➃x 2 + y 2 + z 2 = a 2✛ ✠▲→✧ ✺ê➷➞ÛIII✻↔A↕➪❑ ✶ 6 ➄↔✁ 6 ➄↕