呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分 5.3 换元分部

第三为 第五章 定积分的换无法和 分部积分洁 不定积分 换元积分法 换元积分法 定积分 分部积分法 (分部积分法 定积分的换元法 二、定积分的分部积分法 OOo⊙08

二、定积分的分部积分法 第三节 不定积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章

一、 定积分的换元法 定理1.设函数f(x)∈C[a,b],单值函数x=p(t)满足 1)o(t)ECla,B],p(a)=a,(B)=b; 2)在[C,B]上a≤p(t)≤b, 则 [f(xdx=[fI(()dr 证：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在 且它们的原函数也存在.设F(x)是f(x)的一个原函数， 则F[p(t)]是f[p(t)]p(t)的原函数，因此有 f(x)dx=F(b)-F(a)=Flp(B)]-FIp(a)] =∫f[ot)]o'()di

一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) ( ) [ , ], 1  t C   2) 在 [ , ] 上 () = a,() = b; (t) (t) 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有 = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] (t) (t) (t) (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则

ffx)dr=∫fIpt】]p'dt 说明： 1)当B<a,即区间换为[B,]时，定理1仍成立 2)必需注意换元必换限，原函数中的变量不必代回 3)换元公式也可反过来使用，即 fIo0)lo'0di=∫f(x)dx(令x=p) 或配元fLp()lp')dt=f八()]dgp( 配元不换限 o0o0 机无

说明: 1) 当 <  , 即区间换为 [ ,]时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 f x x (令x =(t)) b a ( )d  = 或配元 (t) d(t) 配元不换限 (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (t) (t) (t) (t)

例1.计算Va2-x2d(a>0) 解：令x=asint,则dx=acostdt,且 当x=0时，t=0;x=a时，t= 原武-=a2情cos2di "yy=va2-x2 -750+cos20d1 a x ma) 4

例1. 计算 解: 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2  x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2  = +  sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2   2 0  cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且

计 _dx. 解：令1=2x+1.则x-2,dx=1d,且 2 当x=0时，t=1;x=4时，t=3. -2e2+3)d 3 OO▣⊙⊙8

例2. 计算 解: 令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当x = 0时, x = 4时, t = 3. ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2  + − (t 3)dt 2 1 3 1 2  = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t =1; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且

例3.设f(x)∈C[-a,a, 偶倍奇零 (I)若f(-)=f(),则，f()dr=20fx)dx 2)若f(-)=-f(),则f(x)dx=0 证：nfx)dr=,fex)dr+j0fx)dr -Jof(-)di+of()dx 令x=-t =∫Lf(-x)+f(x)]dx L了20f(x)dr,f-x)=fx)时 =10, f(-x)=-f(x)时 oao⊙o&

例3. 证: (1) 若   − = a a a f x x f x x 0 则 ( )d 2 ( )d = − f x x a a ( )d (2) 若 ( )d = 0 − a a 则 f x x f x x a ( )d 0 − f x x a ( )d 0  + f t t a ( )d 0  = − f x x a ( )d 0  + f x f x x a [ ( ) ( )]d 0  = − + f (−x) = f (x)时 f (−x) = − f (x)时 偶倍奇零 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令x = −t =

二、定积分的分部积分法 定理2.设u(x),v(x)∈Cl[a,b],则 drd-wl2reoe)dr 证：[u(x)v(x)'=u(x)v(x)+u(x)v'(x) 两端在[a,b]上积分 une)l2-acr(d+aumxdr =dntl合aar)r OOo⊙08 机无

二、定积分的分部积分法 定理2. ( ), ( ) [ , ], 1 设u x v x C a b 则 a b 证:  [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x) u(x)v(x) a b u x v x x u x v x x b a b a = ( ) ( )d + ( ) ( )d   = u(x)v(x) a b  −  b a u (x) v(x)dx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 两端在[a,b]上积分

例4.计算 解：原式=x arcsinx +50-dn-) 3 -1 12 2 Oao⊙⊙8

例4. 计算 解: 原式 = x arcsin x 0 2 1  − 2 1 0 x x x d 1 2 − 12  = (1 ) d (1 ) 2 1 2 0 2 2 1 2 1 + − x − x −  12  = 2 1 (1 ) 2 + − x 0 2 1 12  = 2 3 + −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5.证明。-snrd-f月cos”rdr n-1.n-3 n n-2 423,n为偶数 n-1,n-3 . 4.2 n为奇数 n n-2 53 证：令t=巧-x,则 5sn”xd=-sin™(g-f0di=0 od 令u=sinn-1x,y'=sinx,则t=(n-l)sin”-2 x COSx, V=-COSX n-[-cosxsin-x刘言+(0n-l)j0sin"2xcos2xdr 0 Ooo⊙o8 机

 = 2 0 cos d  t t n  = 2 0 cos d  x x n 例5. 证明 证: 令 , 2 2 1 4 3 2 1 3       − n n − n n−  n 为偶数 n 为奇数 , 2 t = − x  则  2 0 sin d  x x n  = − − 0 2 2 sin ( )d   t t n 令 则 ( 1)sin cos , 2 u n x x n−  = − v = −cos x [ cos sin ] 1 I x x n n −  = −  0 2   − + − 2 0 2 2 ( 1) sin cos d  n x x x n 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

In=(n-1)[sin"-2xcos2xdx =(n-DJsin"-2x(1-sin2x)dx =(n-1)In-2-(n-1)In 2 in"xdx 由此得递推公式1，=1n-2 于是 12m 2m-1.2m-3 -2m 2m-2 3.10 42 2m+1= 2m2m-2 .4 2m+12m-1 5 而 1o=dx=1=sinxdx=1 故所证结论成立

 − = − 2 0 2 2 ( 1) sin cos d  I n x x x n n  = − − 2 − 0 2 2 ( 1) sin (1 sin )d  n x x x n 2 ( 1) = − n− n I 由此得递推公式 2 1 − − = n n n n I I 于是 I2m = m m 2 2 −1 I2m+1 = 2 1 2 m+ m 而 I0 =  2 0 d  x , 2  =  = 2 0 1 sin d  I x x =1 故所证结论成立 . 0 I 1 I 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 −2  I m 2 2 2 3 − − m m 2 −4  m I   2 1 4 3 2 −1  2 I m 1 2 2 − − m m 2 −3  m I   3 2 5 4