呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（教案讲义）第一章 函数与极限 第3节 函数的极限

第三节函数的极限 教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备 教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系 教学难点：极限概念的理解 教学过程 一、函数极限的定义 一般概念在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那 么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。 1.函数当x→0时的极限 我们知道，当x→0时)=越来越接近零.如果函数儿)当树无限增大时，) 取值和常数1要多接近就有多接近，此时称1是(x)当x→∞时的极限，记作 im/(x)=1. 它的解析定义是： 设函数fx)当大于某一正数时有定义.如果对于任意给定的正数6（不论它多么小）， 总存在着正数X,使得对于适合不等式>X的一切x,对应的函数值fx)都满足不等 式f)-小<6，那么常数A就叫做函数fx)当x→0时的极限，记作 mfx)=A或f)→A(当x→o). 注：若imfx)=1 (1)I是唯一的确定的常数： (2)x→0既表示趋于+0，也表示趋于-0. 如果x→+o时，fx)取值和常数I要多接近就有多接近，我们称1是fx)当x→+o 时的极限，记作 mf)=1. 如果x→一∞时，fx)取值和常数I要多接近就有多接近，我们称1是fx)当x→0 时的极限，记作 lim f(x)=1 显然，m)存在的充分必要条件是

第三节 函数的极限 教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备 教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系 教学难点：极限概念的理解 教学过程： 一、函数极限的定义 一般概念 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那 么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。 1．函数当 x → 时的极限 我们知道，当 x → 时 ( ) x f x 1 = 越来越接近零．如果函数 f (x) 当 x 无限增大时， f (x) 取值和常数 l 要多接近就有多接近，此时称 l 是 f (x) 当 x → 时的极限，记作 f (x) l x = → lim ． 它的解析定义是： 设函数 f (x) 当 x 大于某一正数时有定义．如果对于任意给定的正数  （不论它多么小）， 总存在着正数 X ，使得对于适合不等式 x  X 的一切 x ，对应的函数值 f (x) 都满足不等 式 f (x)− A   ，那么常数 A 就叫做函数 f (x) 当 x → 时的极限，记作 f (x) A x = → lim 或 f (x)→ A （当 x → ）． 注：若 f (x) l x = → lim （1） l 是唯一的确定的常数； （2） x → 既表示趋于 + ，也表示趋于−  ． 如果 x → + 时， f (x) 取值和常数 l 要多接近就有多接近，我们称 l 是 f (x) 当 x → + 时的极限，记作 f (x) l x = →+ lim ． 如果 x →− 时， f (x) 取值和常数 l 要多接近就有多接近，我们称 l 是 f (x) 当 x →− 时的极限，记作 f (x) l x = →− lim ． 显然， f (x) x→ lim 存在的充分必要条件是

lim f(x)=lim f(x) 2.函数当x→x时的极限 满足x-x0(或A0(或fx)<0)

f (x) f (x) x→+ x→− lim = lim 2．函数当 0 x → x 时的极限 满足 x − x0   的 x 的范围称作以 0 x 为中心的  邻域，满足 0  x − x0   的范围称 作以 0 x 为中心，以  为半径的去心邻域，记作 ( ) 0 U x ． 现在考虑自变量 x 的变化过程为 0 x → x ．如果在 0 x → x 的过程中，对应的函数值 f (x) 无限接近于确定的数值 A ，那么就说 A 是函数 f (x) 当 0 x → x 时的极限．当然，这里我们 首先假定函数 f (x) 在点 0 x 的某个去心邻域内是有定义的． 它的解析定义是： 设函数 f (x) 在点 0 x 的某一去心邻域内有定义．如果对于任意给定的正数  （不论它多 么小），总存在正数  ，使得对于适合不等式 0  x − x0   的一切 x ，对应的函数值 f (x) 都满足不等式 f (x)− A   ， 那么常数 A 就叫做函数 f (x) 当 0 x → x 时的极限，记作 f (x) A x x = → 0 lim 或 f (x)→ A （当 0 x → x ）． 注：若 f (x) l x x = → 0 lim 极限存在时 （1） l 是唯一的确定的常数； （2） 0 x → x 表示从 0 x 的左右两侧同时趋于 0 x ； （3）极限 l 的存在与 f (x) 在 0 x 有无定义或定义的值无关． 显然， ( ) 。 ， 3 2 1 lim lim 3 2 5 2 1 = + + = → → x x x x x 二、函数极限的性质 定理 1（极限的局部保号性） 如果 f (x) A x x = → 0 lim ，而且 A  0 （或 A  0 ），那么就存 在着点 0 x 的某一去心邻域，当 x 在该邻域内时，就有 f (x)  0 （或 f (x)  0 ）．

定理1'如果m)=A（A≠0)，那么就存在者x,的某一去心邻域0，)，当 xei),藏有/e> 定理2如果在x的某一去心邻域内)≥0（或）≤0)，而且m)=A,那 么A≥0（或A≤0）. 上述x→x时函数fx)的极限概念中，x是既从x。的左侧也从x的右侧趋于x。 的.但有时只能或只需考虑x仅从x。的左侧趋于x。(记作x→x。-0)的情形，或x仅从 x。的右侧趋于x。(记作x→x。+0)的情形.在x→x。-0的情形，x在。的左侧， x0 当x→0时fx)的极限不存在， 证当x→0时f)的左极限m,f)=mx-)=-1, 而右极限m)=mx+)=1, 图1.7

图 1-7 定理 1’ 如果 f (x) A x x = → 0 lim （ A  0 ），那么就存在着 0 x 的某一去心邻域 ( ) 0 U x 。 ，当 ( ) 0 x U x 。  时，就有 ( ) 2 A f x  ． 定理 2 如果在 0 x 的某一去心邻域内 f (x)  0 （或 f (x)  0 ），而且 f (x) A x x = → 0 lim ，那 么 A  0 （或 A  0 ）． 上述 0 x → x 时函数 f (x) 的极限概念中， x 是既从 0 x 的左侧也从 0 x 的右侧趋于 0 x 的．但有时只能或只需考虑 x 仅从 0 x 的左侧趋于 0 x （记作 x → x0 − 0 ）的情形，或 x 仅从 0 x 的右侧趋于 0 x （记作 x → x0 + 0 ）的情形．在 x → x0 − 0 的情形， x 在 0 x 的左侧， 0 x  x ．在 f (x) A x x = → 0 lim 的定义中，把 0  x − x0   改为 0 0 x −  x  x ，那么 A 就叫 做函数 f (x) 当 0 x → x 时的左极限，记作 f (x) A x x = → 0 −0 lim 或 f (x0 − 0) = A ． 类似地，在 f (x) A x x = → 0 lim 的定义中，把 0  x − x0   改为 x0  x  x0 +  ，那么 A 就 叫做函数 f (x) 当 0 x → x 时的右极限，记作 f (x) A x x = → 0 +0 lim 或 f (x0 + 0) = A． 根据 0 x → x 时函数 f (x) 的极限的定义，以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数 f (x) 当 0 x → x 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即 ( 0) ( 0) f x0 − = f x0 + ． 因此，即使 ( 0) f x0 − 和 ( 0) f x0 + 都存在，但若不相等，则 f (x) x x0 lim → 不存在． 例 1 函数 ( )       =  + − = 0 0 0 1 0 1 x x x x x f x ， ， ， 当 x →0 时 f (x) 的极限不存在． 证 当 x →0 时 f (x) 的左极限 lim ( ) lim ( 1) 1 0 0 = − = − →− →− f x x x x ， 而右极限 lim ( ) lim ( 1) 1 0 0 = + = →+ →+ f x x x x

因为左极限和右极限存在但不相等，所以m∫x)不存在（图17） 小结与思考 本节讲述了各种趋势下的极限的定义. 作业：作业见作业卡

因为左极限和右极限存在但不相等，所以 f (x) x 0 lim → 不存在（图 1-7） 小结与思考： 本节讲述了各种趋势下的极限的定义． 作业：作业见作业卡