呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限 1.5 极限运算法则

第一章 第五节 极浪运算法则 一、 无穷小运算法则 二、极限的四则运算法则 三、复合函数的极限运算法则 OQo⊙⊙☒

第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则

一、无穷小运算法则 定理1.有限个无穷小的和还是无穷小 证：考虑两个无穷小的和.设1imau=0,limB=0 → 8>0,381>0当00当0<x-0<6时，有B< 取6=min{61,62},则当0<x-xo<6时，有 au+B≤a+B<号+号=ε 因此 lim(a+)=0. x→x0 这说明当x→xo时，+B为无穷小量 Ooo⊙⊙⑧

 = min 1 ,  2 , 时, 有 一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设   0, 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 0  x − x0    +    +  2 2    + =  因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

类似可证：有限个无穷小之和仍为无穷小， 说明：无限个无穷小之和不一定是无穷小！ 例如， lim n 1 (P56,题4(2)) 解答见课件第二节例5 OOo⊙o8

说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如，       + + + + + → n + n  n n n n 2 2 2 1 2 1 1 lim  =1 ( P56 , 题 4 (2) ) 解答见课件第二节 例5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小

定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小· 证：设Vx∈U(xo,6),u≤M 又设lima=0,即Hε>0,382>0，当x∈U(xo,62) x→X0 时，有a≤ 取6=min{61,62},则当xeU(x,6)时，就有 ua=ua≤M.&=e 故1imu=0,即ua是x→xo时的无穷小. x→x0 推论1.常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小 OOo⊙⊙8

定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 u  M 又设 lim 0, 0 = →  x x 即   0, 当 时, 有 M    取 min , ,  =  1  2 则当 ( , ) x x0    时 , 就有 u = u      = M M 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求lim sinx 1 x→00 sinx y= 解：sinx≤1 1im'=0 X→0X sinx 利用定理2可知1im 三0」 x→00X sinx 说明：y=0是y=n 的渐近线 OO▣⊙⊙☒

例1. 求 解: 0 1 lim = x→ x 利用定理 2 可知 x x y sin = 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、极限的四则运算法则 定理3.若limf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B 证：因1imf(x)=A,limg(x)=B,则有 f(x)=A+a,8(x)=B+B (其中，B为无穷小) 于是 f(x)±g(x)=(A+C)±(B+B) =(A±B)+(±B) 由定理1可知±B也是无穷小，再利用极限与无穷小 的关系定理，知定理结论成立 Ooo⊙®8

二、 极限的四则运算法则 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 f (x) = A+ , g(x) = B +  (其中  ,  为无穷小) 于是 f (x)  g(x) = (A+ )  (B +  ) = (A B) + (   ) 由定理 1 可知    也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若 机动 目录 上页 下页 返回 结束

推论：若limf(x)=A,limg(x)=B,且f(x)≥g(x), 则A≥B.(P45定理5) 提示：令p(x)=f(x)-g(x) 利用保号性定理证明 说明：定理3可推广到有限个函数相加、减的情形」 Qao⊙@8

推论: 若 lim f (x) = A, limg(x) = B, 且 f (x)  g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 ) (x) = f (x) − g(x) 利用保号性定理证明 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 . 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理4.若1imf(x)=A,limg(x)=B,则有 lim[f(x)g(x)]=lim f(x)limg(x)=4B 提示：利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明 说明：定理4可推广到有限个函数相乘的情形 推论1.lim[Cf(x)]=Climf(x) (C为常数) 推论2.1im[f(x)]”=[limf(x)]”(n为正整数) 例2.设n次多项式P,(x)=a0+ax++anx”,试证 lim P (x)=P (xo). x→x0 证：lim P(x)=a0+a,limx+.+an lim x” x→X0 x→xo =P(xo) OOo⊙⊙8 机无

定理 4 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[C f (x)] = Clim f (x) ( C 为常数 ) 推论 2 . n n lim[ f (x)] = [lim f (x)] ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 lim ( ) ( ). 0 0 P x P x n n x x = → 证: = → lim ( ) 0 P x n x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理5.若imf(x)=A,limg(x)=B,且B0,则有 limf()lim/(x) A g(x)limg(x)B 证：因limf(x)=A,limg(x)=B,有 f(x)=A+,g(x)=B+B,其中a,B为无穷小 设 y=f四A-A+a A 1 (Ba-AB) g(x)BB+B B B(B+) 无穷小 有界 因此”为无穷小)=A + 8(x)B 由极限与无穷小关系定理，得1im()-4_1imfy g(x)B limg(x) Q母⊙⊙⑧

为无穷小 (详见P44) B 2  B +  1 ( ) 1 g x = ( ) 0 x x   定理 5 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有 f (x) = A+ , g(x) = B +  , 其中  ,  设 B A B A − + + =   ( ) 1 +  = B B (B − A) 无穷小 有界 因此  由极限与无穷小关系定理 , 得 = + B A g x f x ( ) ( ) 为无穷小, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理6.若lim=A,lim y=B,则有 n->o n->oo (I)lim(xn±yn)=A±B (2)lim xnyn=AB n->oo (3) 当y,≠0且B≠0时，lim= n-→ooyn B 提示：因为数列是一种特殊的函数，故此定理可由 定理3,4,5直接得出结论 OO▣⊙⊙8

定理6 . 若 lim x A, lim y B , n n n n = = → → 则有 (1) lim( ) n n n x  y → n n n x y → (2) lim (3) 当y  0且B  0时, n B A y x n n n = → lim = A B = AB 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束