呼和浩特职业学院：《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限 1.2 数列的极限

第一章 第二节 数列的版很 一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质 三、极限存在准则 Qao⊙@8

第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限

一、数列极限的定义 引例.设有半径为r的圆，用其内接正n边形的面积 An逼近圆面积S. 如图所示，可知 ππ An =nr2 sin "cos n n (n=3,4,5,.) 当n无限增大时，An无限逼近S刘徽割圆术)， 数学语言描述：Ve>0,正整数N,当n>N时，总有 An-S<8 OOo⊙⊙8

数学语言描述: r 一 、数列极限的定义 引例. 设有半径为 r 的圆 , 逼近圆面积 S .  如图所示 , 可知 n 当 n 无限增大时, 无限逼近 S (刘徽割圆术) ,   0, 正整数N, 当 n > N 时, A − S   n 用其内接正 n 边形的面积 总有 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束

定义：自变量取正整数的函数称为数列，记作xn-f(n) 或{xn.xn称为通项（一般项） 若数列{xn}及常数a有下列关系 s>0,3正数N,当n>N时，总有xn-aN) 几何解释： 即xn∈U(a,e) ●00 a-EXN+a xN+2 a+E (n>N) ggo⊙▣⑧

定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n > N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : a − a + ( ) a −  x  a + n (n  N ) 即 x (a,  ) n  (n  N ) x a n n = → lim 或 x → a (n → ) n N+1 x N+2 x 则称该数列 的极限为 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

123 n 例如， 234 n+1 Xn=n →1(n→o) n+1 143 2 n+(-1)n-1 收 2 3’4 n 敛 n+110m-→0) n 2,4,8,.,2”,. xn=2”-→0(n>0) 发 1,-1,1,.,（10+1, 散 xn=(-1)n+ 趋势不定 Ooo⊙o8 机

例如,  , 1 , , 4 3 , 3 2 , 2 1 n + n +1 = n n xn →1 (n →) n n x n n 1 ( 1) − + − = →1 (n →) 2 , 4 , 8 ,  , 2 n ,  n n x = 2 → (n →) 1 ( 1) + = − n n x 趋势不定 收 敛 发 散 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.已知x,= +(-l)” 证明数列{xn}的极限为1， n 证：x,-1=n n Vc>0,欲使xn-1 因此，取N=1,则当>N时，就有 nt(l"-lss n 故 limx=lim n+(-1)” =1 n→oo n-→0 n Oao⊙⊙8

例1. 已知 证明数列 的极限为1. 证: xn −1 = 1 ( 1) − + − n n n   0 , 欲使 即 只要  1 n  因此 , 取 ], 1 [  N = 则当 n  N 时, 就有 −   + − 1 ( 1) n n n 故 1 ( 1) lim lim = + − = → → n n x n n n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.已知xn= (-1)” 证明limx=0. n+1)2 1n→00 证：xn-0= (-1)” (n+1)2 6∈(0,1)，欲使xn-0 取N=[日-，则当n>N时，就有x,-0<&, 故 lim=lim n-∞(n+1)2 0 也可由 xn-0=a 说明：N与ε有关，但不唯一 取N=[-1] 不一定取最小的N. OOo⊙@&

例2. 已知 证明 证: xn − 0 = 2 ( 1) 1 + = n 1 1 +  n  (0,1), 欲使 只要 , 1 1   n + 即 n  取 1], 1 = [ −  N 则当 n  N 时, 就有 − 0   , n x 故 0 ( 1) ( 1) lim lim 2 = + − = → → n x n n n n 故也可取 [ ] 1  N = 也可由 2 ( 1) 1 0 + − = n n x 1. 1 −  N 与  有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取  1  1 = −  N 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设g1+ In g 因此取则当w时南 |g-1-0<e 故 lim g"-1=0 1-→00 Solo☒

例3. 设 q 1, 证明等比数列 证: − 0 n x 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取   +   = q N ln ln 1  , 则当 n > N 时, 就有 −   − 0 n 1 q 故 lim 0 1 = − → n n q . ln ln 1 q n   + 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、收敛数列的性质 b-a b-a 2 1.收敛数列的极限唯一 9+6 b 证：用反证法.假设limx,=a及lim=b,且ao 取6=b,因1imxn=a,故存在N1,使当n>N时， n->o0 x-aK2,从而，N2时，有 n>0 x,-bK学，从而xn>学 取N=max{W1,N2},则当n>W时，xn满足的不等式 矛盾.故假设不真！因此收敛数列的极限必唯一. Ooo⊙o8

 − 2 3a b 2 2 b a n b a x a − − −  −  二、收敛数列的性质 证: 用反证法. 及 且 a  b. 取 因 lim x a, n n = → 故存在 N1 , 从而 2 a b n x +  同理, 因 lim x b, n n = → 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 2 a b n x +  1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n > N1 时, 假设 2 2 b a n b a x b − − −  −  n a b  x + 2 2 3b−a  从而 2 a b n x +  矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 取N = maxN1 , N2 , 则当 n > N 时, 故假设不真 ! n x 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.证明数列xn=(-1)”+1(n=1,2,.)是发散的 证：用反证法 假设数列{xn}收敛，则有唯一极限a存在 取c=),则存在N,使当n>N时，有 a-n<a+号 a-2 a+号 但因X,交替取值1与-1，而此二数不可能同时落在 长度为1的开区间(a-),a+号)内，因此该数列发散

例4. 证明数列 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 xn  收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 , 2 1  = 则存在 N , 2 1 2 1 a −  xn  a + 但因 n x 交替取值 1 与－1 , ( , ) 2 1 2 1 a − a + 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n > N 时 , 有 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.收敛数列一定有界 证：设1mx,=a,取g=1,则N,当n>W时，有 1n→0 xn-a<1,从而有 xn =(xn-a)+a s xn-a +a<1+a 取 M=mx1+a 则有 xn≤M(n=1,2,.). 由此证明收敛数列必有界 说明：此性质反过来不一定成立.例如， 数列{(-1)”1虽有界但不收敛 OO▣⊙⊙8

2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取  =1, 则 N , 当 n  N 时, 从而有  xn − a + a 1+ a 取 M = max x1 , x2 ,  , xN , 1+ a  则有 x  M ( n =1, 2 , ). n 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,  1 ( 1) + − n 虽有界但不收敛 . x − a 1, n 有 数列 机动 目录 上页 下页 返回 结束