新疆大学：《常微分方程》课程教学资源（习题解答）第四章 高阶微分方程习题及答案

习题4.1 1.求出下列常系数线性方程的通解： 1)x9-5x”+4r=0 2）x9-4x月=0 3)x"+2x+10x=0 4)x9-4x"+5x-2x=21+3 5)x9-2x+x=2-3 6)x"+x'-2x=8sin2t 答： 1)特征方程为2-2+4=0，其全部特征值为元=-2，-11,2 所以x(0)=ce2+c,e+c,e+c,e2 2)x(0)=ce+ce2+G3+c1+c2 3)x(t)=e[G cos3t+c2 sin3t] 4)特征方程为L(2)=23-4入2+5元-2=0，其所有的特征值是1=1（二重）元=2， 非齐次项的形式是f(d=21+3=e“(21+3),因0不是特征方程的根，所以特解具有形式 x()=at+b,代入方程求出a=-l,b=-4,从而x()=-4+e(G+c)+c,e2产 5)x()=P+1+e(G+c)+e(g+c） 6)特征方程为L()=入2+入-2=0，其所有的特征值是入=-2,1-1，非齐次项的形式 是f()=8sin21=Im(ce），因2i不是特征方程的根，所以特解具有形式 x,()=1m(ce2"）,其中c是待定的复常数。因此，先求方程L(D)[:()]=8e2"的复值 特解，其中z()=ce2。由Leibniz法则， L(D)[=(0]=(e2"）L(D+21)(c)=(e2)(2i-6)c=8e2, 求曲c-告3，从面特解为)-m:0-m(3）- =-名c0s21+3sin2川，所以通解为x0=-名cos2+3sin2川+cGe+6,e. 2.如果已知二阶线性齐次方程x()+p(0)x(t)+q(C)x()=0的一个特解p()≠0，试

习题 4.1 1. 求出下列常系数线性方程的通解: 1) (4) x x x − + = 5 4 0  2) (5 3 ) ( ) x x − = 4 0 3） x x x   + + = 2 10 0 4） (3) x x x x t − + − = + 4 5 2 2 3   5) (4) 2 x x x t − + = − 2 3  6） x x x t   + − = 2 8sin2 答： 1） 特征方程为 4 2   − + = 4 0 ，其全部特征值为  = − − 2, 1,1,2 所以 ( ) 2 2 1 2 3 4 t t t t x t c e c e c e c e − − = + + + 2） ( ) 2 2 2 1 2 3 4 5 t t x t c e c e c c t c t − = + + + + 3） ( )  1 2 cos3 sin3  t x t e c t c t − = + 4）特征方程为 ( ) 3 2 L     = − + − = 4 5 2 0 ，其所有的特征值是  =1 （二重）  = 2 ， 非齐次项的形式是 ( ) ( ) 0 2 3 2 3 t f t t e t = + = + ，因 0 不是特征方程的根，所以特解具有形式 x t at b ( ) = + ，代入方程求出 a b = − = − 1, 4 ，从而 ( ) ( ) 2 1 2 3 4 t t x t t e c c t c e = − + + － ＋ 5） ( ) ( ) ( ) 2 1 2 3 4 t t x t t e c c t e c c t − = + + + ＋1+ 6）特征方程为 ( ) 2 L    = + − =2 0 ，其所有的特征值是   = − = 2, 1 ，非齐次项的形式 是 ( ) ( ) 2 8sin 2 it f t t Im ce = = ， 因 2i 不 是 特 征 方 程 的 根 ， 所 以 特 解 具 有 形 式 ( ) ( ) 2it p x t Im ce = ，其中 c 是待定的复常数。因此，先求方程 ( ) ( ) 2 8 it L D z t e   =   的复值 特解，其中 ( ) 2it z t ce = 。由 Leibniz 法则， ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 6 8 it it it L D z t e L D i c e i c e   = + = − =   ， 求 出 3 5 i c + = − ， 从 而 特 解 为 ( ) ( ) 3 2 Im Im 5 it p i x t z t e   + = = −    ＝   2 cos 2 3sin 2 5 = − +t t ，所以通解为 ( )   2 1 2 2 cos 2 3sin 2 5 t t x t t t c e c e − = − + + + 。 2. 如果已知二阶线性齐次方程 x t p t x t q t x t   ( ) + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 的一个特解  (t)  0 ，试

利用liouville定理求出方程的通解。 解：令y=x(),则原方程等价于线性方程组 y=x,y=-q()x-p)y,设方程组的任一解为(x),y(》=(x(),x() 则W()-W[p(),x()门=p()x'()-p'()x()为解矩阵的形ronsky行列式，由 liouville定理，w=C.e 即p0x0-p'Ox句=6，e,它是关于x)的一阶线性方程。应用常数变易 公式，取对应的齐次方程的特解为h()=(①，得通解： 0-pos+eoofs 习题4.2 1.用适当的降阶法求解下列二阶方程（自变量是1） 》品 2)x"-(x)2+(x)）3=0 2 》+y=0 4)x'+1-(x2=0 )m+1+(y'-0a00xr-+=0 答：Dx=±号+e可+ 2)x=±号+G+c1=x+Gh(cx),还有解x=c 3》x=l+e4+6 4)除了明显的两组解x=c士1外还有与这两组解相连接而成的定义区间为R的极 G+-G+h.1s9-5 大解族：x={6+cos(-G),G-乃<1<G+乃 6+-6-2,2G-3

利用 liouville 定理求出方程的通解。 解：令 y x t = ( ) ，则原方程等价于线性方程组 y x y q t x p t y = = − −   , ( ) ( ) ，设方程组的任一解为 ( ( ), , ( )) ( ( ) ( )) T T x t y t x t x t =  则 W t W t x t t x t t x t ( ) = = −      ( ), ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   为解矩阵的 Wronsky 行列式，由 liouville 定理， ( ) ( ) 2 trA t dt W t c e = 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 p t dt   t x t t x t c e −    − = ，它是关于 x t( ) 的一阶线性方程。应用常数变易 公式，取对应的齐次方程的特解为 h t t ( ) = ( ) ，得通解： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 s t p u du x t t c c e ds t     −  = +        习题 4.2 1.用适当的降阶法求解下列二阶方程（自变量是 t ） 1) 1 2 x x  =  2) ( ) ( ) 2 3 xx x x    − + = 0 3) ( ) 2 2 0 1 x x x   + = − 4) ( ) 2 x x   + − = 1 0 5) ( ) 3 2 2 ax x a   + + =    1 0, 0   6) ( ) 2 0 x x x t    − + = 答：1） ( ) 3 1 2 2 3 x t c c =  + + 2） ( ) ( ) 3 1 2 1 2 2 ln , 3 x t c c t x c c x x c =  + + = + = 还有解 3） 1 2 1 x 1 c t c = + + 4）除了明显的两组解 x c t =  外还有与这两组解相连接而成的定义区间为 R 的极 大解族： ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 , 2 2 cos , 2 2 , 2 2 c t c t c x c t c c t c c t c t c        + − +  −   = + − −   +    + − −  −  5） 2 1 2 1 t c x c a a   − = + −    

6)x=In(G+cr) 2.设()为方程x”+kx=∫()的解，其中k为常数，函数f()在R上连续，证明 D当0时道为o0=6os肉+em包，n-o)h k 2)当k=0时通解为p()=G+c+∫-s)f(s) 证：直接求导验证（略） 3.设%()，马()）为x+p(t)x+q()x=0的两个线性无关解，证明方程 x'+p()x+q()x=f)的任一解可表示为 x=cA(0+ea,回+8⊙)-ae@ W(s) 其中W()=W[%(),%()]为形rosy行列式，G,G为任意常数。 证：直接求导验证（略） 4.对于二阶线性方程x"+2r'+ox=0,(n>0,o>0是常数) 试就n>@,n=0和00>0时特征值的实部都小于零，所以 任一通解当1→+0时都趋于零

6) ( ) 2 1 2 x c c t = + ln 2．设  (t) 为方程 ( ) 2 x k x f t + = 的解，其中 k 为常数，函数 f t( ) 在 R 上连续，证明： 1）当 k  0 时通解为 ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ( )) ( ) 0 sin 1 cos sin kt t t c kt c k t s f s ds k k  = + + −  2）当 k = 0 时通解为 ( ) 1 2 ( ) ( ) 0 t  t c c t t s f s ds = + + −  证：直接求导验证（略） 3. 设 1 (t) ， 2 (t) 为 x p t x q t x   + + = ( ) ( ) 0 的 两 个 线 性 无 关 解 ， 证 明 方 程 x p t x q t x f t   + + = ( ) ( ) ( ) 的任一解可表示为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 2 2 0 t s t t s x c t c t ds W s       − = + +  其中 W t W t t ( ) =     1 2 ( ), ( )   为 Wronsky 行列式， 1 2 c c, 为任意常数。 证：直接求导验证（略） 4.对于二阶线性方程 2 x nx x   + + = 2 0  ，(n   0, 0  是常数) 试就 n n n  =     , 和 三种情况讨论其通解当 t → + 时的性质。 答：特征方程为 2 2     + + =   2 0, 0. 0 n n 当系数 时特征值的实部都小于零，所以 任一通解当 t → + 时都趋于零