辽宁工业大学：《材料力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第五章 梁弯曲时的位移（5.3-5.5）

上次课回顾: 1、度量变形的两个基本位移量:挽度和转角 2、挑曲线近似微分方程Eh"=-M(x) 3、挽曲线近似微分方程的积分 Elw'(x)=(M(x)dx+C1 Elw(x) M(x))dx x+Cix+D 4、积分常数确定 o位移边界条件,连续条件,光谞条件

上次课回顾： 1、度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角 2、挠曲线近似微分方程 EIw  = −M(x) 3、挠曲线近似微分方程的积分 d 1 EIw'(x) = (−M (x)) x +C    d d 1 1 EIw(x) =   (−M (x)) x x +C x + D 4、积分常数确定 位移边界条件， 连续条件，光滑条件

5、积分法求解梁位移的思路: ①建立合适的坐标系; ②求弯矩方程Mx) 建立近似微分方程:Eh=-M(x) ④积分求Eh′和EhM; ⑤用约束条件或连续条件,确定积分常数; ⑥求指定截面的挠度和转角

EIw  = −M(x) 5、积分法求解梁位移的思路： ① 建立合适的坐标系； ② 求弯矩方程M(x) ； ③ 建立近似微分方程： ⑤ 用约束条件或连续条件，确定积分常数； ⑥ 求指定截面的挠度和转角 ④ 积分求 EIw  和 EIw;

§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角 由于:1)小变形,轴向位移可忽略; 2)线弹性范围工作。 因此,梁的挠度和转角与载荷成线性关系,可 用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。 简单载荷下梁的挠度和转角见附录Ⅳ,必须记住!

§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 由于：1）小变形，轴向位移可忽略； 简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV，必须记住！ 因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可 用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。 2）线弹性范围工作

例55利用叠加原理求图a所示弯曲刚度为E简支 梁的跨中挠度w和两端截面的转角OA,OB B 1/2 解:可将原荷载看成为图b所示关于跨中C截面的正 对称和反对称荷载的叠加。 2 AJITTTIIGIIIIITLB AJITTiTITT B l/2 2 (b)

例5-5 利用叠加原理求图a所示弯曲刚度为EI的简支 梁的跨中挠度wC和两端截面的转角A，B。 解：可将原荷载看成为图b所示关于跨中C截面的正 对称和反对称荷载的叠加。 q A C B x y l/2 l (a) (b) + l A C B q/2 A l/2 C B l/2 q/2 q/2

1)对正对称荷载,跨中截面C的挠度和两端的转角 分别为: 5(q/2y+5q1 384EI768El ( a/2 )7 ql Al Bl 24E48E 2)对反对称荷载,跨中截面C的挠度等于零,并可 分别将AC段和CB段看成为简支梁,即有 C2 =0 642=6B2 (q/2)(/2)q3 24EI 384El

1）对正对称荷载，跨中截面C的挠度和两端的转角 分别为： ( ) EI ql EI q l wC 768 5 384 5 2 4 4 1 = = ( ) EI ql EI q l A B 24 48 2 3 3  1 = − 1 = = wC2 = 0 2）对反对称荷载，跨中截面C的挠度等于零，并可 分别将AC段和CB段看成为l/2简支梁，即有： ( )( ) EI ql EI q l A B 24 384 2 2 3 3  2 = 2 = =

将相应的位移进行叠加,即得 W=wa+w C2 +0=5y 768El (向下) 768El q q 3g4 A10A2 (顺时针) 48EⅠ384EI128E q 7al5 q4 B BI teB 2 48E384EI384E (逆时针)

EI ql EI ql wC wC wC 768 5 0 768 5 4 4 = 1 + 2 = + = EI ql EI ql EI ql A A A 128 3 48 384 3 3 3  = 1 + 2 = + = EI ql EI ql EI ql B B B 384 7 48 384 3 3 3  = 1 + 2 = − + = − 将相应的位移进行叠加，即得： （向下） （顺时针） （逆时针）

例5-6利用叠加原理求图示弯曲刚度为E/的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角。 F E D B 解:原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加,对应 的变形和相关量如图所示。 F a 6n1×2l 直线 Wp 直线 6n1×BD

例5-6 利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角。 解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。 F l l l EI F A C D B  B1 F  C1 wC1 wC1  C1 2l 直线 wB1 (a) D1  B 2 wD1 F · D1 BD 直线 wD1 wB2 (b) 

对图a,可得C截面的挠度和转角为: F F13 CI n1×2l BEl 直线 F12 2EⅠ 由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为: 4F7 Bl Wci+8.BC=Ft F72 X 2l (向下) BEI 2EI BEl F12 6n=bc2E(顺时针)

EI Fl wC 3 3 1 = EI Fl C 2 2  1 = EI Fl l EI Fl EI Fl wB wC C BC 3 4 2 3 2 3 2 3 1 = 1 + 1  = +  = EI Fl B C 2 2  1 = 1 = 对图a，可得C截面的挠度和转角为： 由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为： （向下） （顺时针）  B1 F  C1 wC1 wC1  C12l 直线 wB1 (a)

对图b,可得D截面的挠度和转角为: F F(27 D2 BEI 6n1×BD 直线 B2 (2) D2 2EI 同理可得此时B截面的挠度和转角为: 8F34Fl2,14FV3 Wa2=W+bn2·BD BE 2EI 3E/(向下) 2Fl 0=0 B2 El (顺时针)

EI Fl l EI Fl EI Fl wB wD D BD 3 14 2 4 3 8 3 2 3 2 = 2 + 2  = +  = EI Fl B D 2 2 1 2  = = ( ) EI F l wD 3 2 3 2 = ( ) EI P l D 2 2 2  2 = 对图b，可得D截面的挠度和转角为： 同理可得此时B截面的挠度和转角为： （向下） （顺时针） D1  B 2 wD1 F · D1 BD 直线 wD1 wB2 (b) 

将相应的位移进行叠加,即得 4F314F736F3 WB=WBi +wB2 BE 3EI E(向下) Fl 2F 5Fl 0=n+6n2= 2EⅠEI2EI (顺时针)

EI Fl EI Fl EI Fl wB wB wB 3 3 3 1 2 6 3 14 3 4 = + = + = EI Fl EI Fl EI Fl B B B 2 2 5 2 2 2 2  = 1 + 2 = + = 将相应的位移进行叠加，即得： （向下） （顺时针）