辽宁工业大学：《材料力学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十章 考虑材料塑性的极限分析（10.4）梁的极限弯矩塑性铰

§10-4梁的极限弯矩塑性铰 矩形截面梁受纯弯曲时,可以看成是无数在梁两端焊 死的纵向纤维组成的一个超静定系统。若其横截面上 最大正应力达到了σ、,则横截面上正应力的变化如 图。 此时的弯矩称为屈服弯矩M、,其值 为 bh M=o 6

矩形截面梁受纯弯曲时，可以看成是无数在梁两端焊 死的纵向纤维组成的一个超静定系统。若其横截面上 最大正应力达到了 s ，则横截面上正应力的变化如 图。 s 2 s s 6   bh M =W = 此时的弯矩称为屈服弯矩 Ms ，其值 为 §10－4 梁的极限弯矩 塑性铰 • (a) − s  s

若继续増大弯矩,则随着线应变的増大,横截面上各 处正应力将从上下边缘向中性轴逐渐增大到a。 当横截面上各处的正应力均达到a时,整个截面 进入完全塑性状态

当横截面上各处的正应力均达到s 时，整个截面 进入完全塑性状态。 若继续增大弯矩，则随着线应变的增大，横截面上各 处正应力将从上下边缘向中性轴逐渐增大到s 。 − s  s (b) (c) − s  s

这时不需要再增大荷载,梁将继续弯曲变形,即梁达 到了极限状态。 将横截面上受拉部分的面积记为41受压部分的面积 记为A。 由静力学关系,可得A=A 令A1对中性轴的静矩为S=ydA A对中性轴的静矩为Ss=∫ydA

将横截面上受拉部分的面积记为At ,受压部分的面积 记为Ac 。 由静力学关系，可得 At = Ac 令At 对中性轴的静矩为  = t d t A S y A Ac对中性轴的静矩为  = c c d A S y A 这时不需要再增大荷载，梁将继续弯曲变形，即梁达 到了极限状态

梁的极限弯矩为M4= Lyo, dA+J(y)-a,)dA 0 S,+s 对于具有水平对称轴的横截面,S=Sb2 则极限弯矩为 bh 4 bh 由=4=15可见,考虑了材料塑性, M bh 矩形截面梁对应的弯矩极限值可以增大50%

对于具有水平对称轴的横截面， 8 2 t c bh S = S = M y A y A A A d ( )( )d t c u =   s +  − − s ( ) = s St + Sc 梁的极限弯矩为 则极限弯矩为 s 2 u 4 =  bh M 由 1.5 6 4 s 2 s 2 s u = =   bh bh M M 可见，考虑了材料塑性， 矩形截面梁对应的弯矩极限值可以增大50％

几种常用截面的MM比值见下表。 表10-1几种常用截面的MM比值 截面形状 M/M 1.15-1.17 127 15 170

几种常用截面的 Mu /Ms 比值见下表。 表 10-1 几种常用截面的 Mu /Ms 比值 截面形状 u s M / M 1.15-1.17 1.27 1.5 1.70

如果这时卸载,即荷载从M变为0,就相当于反向施 加外力偶矩M=M,则可得到横截面上的残余应力 如图。 6° 0 M=M M==M M=0

如果这时卸载，即荷载从 Mu变为0，就相当于反向施 加外力偶矩 Me =Mu ，则可得到横截面上的残余应力 如图。  s M = Mu s 2 3  M = −Mu s 2 1  M = 0  s

例10-3试求圆截面梁的极限弯矩及比值WW。 解:圆截面对称于中性轴,故S=S。由于半圆形 的形心到其直径边的距离为2d/3π,所以 d 2d d W=S1+S=2[() 24 3兀6 极限弯矩为 M. cud 6 园截面的弯曲截面系数W=πF32,所以 Wd3/632 =1.70 W丌d3/326兀

例10-3 试求圆截面梁的极限弯矩及比值Ws /W 。 解：圆截面对称于中性轴，故 St =Sc 。由于半 圆形 的形心到其直径边的距离为 2d/3 ，所以 3π 6 2 )] 4 π ( 2 1 2[ 2 3 s t c d d d W = S + S =  = 极限弯矩为 s 3 u s s 6   d M = W = 圆截面的弯曲截面系数 W= d 3 /32 ，所以 1.70 6π 32 π / 32 / 6 3 3 s = = = d d W W

例10-4图示T形截面梁的屈服极限a=23MPa 试求该梁的极限弯矩。 解:因T形截面无水平对称轴 为了求S和S,必须先确定 中性轴的位置。现以表示翼 缘边到中性轴的距离,由 A=4,可得 例题图 50mm×160mm+50mm(y-50mm)=50mm(250mm-y) 解得 y==(250mm+50mm-160mm)=70mm 2

50mm 160mm + 50mm( y −50mm) = 50mm(250mm − y) 解得 (250mm 50mm 160mm) 70mm 2 1 y = + − = 解：因T形截面无水平对称轴， 为了求 St 和 Sc ，必须先确定 中性轴的位置。现以y表示翼 缘边到中性轴的距离，由 At =Ac ，可得 例10-4 图示T形截面梁的屈服极限 s =235MPa 试求该梁的极限弯矩。 y 160 50 50 z' 例题图 200

则 2=160mm×50mm×45mm+50m×20m×10mm =37×04mm3=37×103m S=180mm×50mm×90mm=81×104mm3=81×1035m3 从而W=S.+S=118×105m3 M=W=(235×10Pa)118×103m3) =277300N·m=277.3kNm

4 3 5 3 c 180mm 50mm 90mm 81 10 mm 81 10 m − S =   =  =  从而 5 3 s t c 118 10 m − W = S + S =   (235 10 Pa)(118 10 m ) 6 5 3 u s s − M = W =   = 277300Nm = 277.3kNm 4 3 5 3 37 10 mm 37 10 m − =  =  则 St =160mm 50mm45mm +50mm20mm10mm

塑性铰 在横力弯曲时,梁眢横截面上的弯矩是不同的, 最大弯矩所在截面将首先屈服。 设一矩形截面的简支梁在跨长l的中点处承受 集中荷载F。 F<F<F F Ei max M (b)

塑性铰 在横力弯曲时，梁各横截面上的弯矩是不同的， 最大弯矩所在截面将首先屈服。 h b l F 4 max Fl M = Fs  F  Fu  s s y (a) (b) Ms Ms 设一矩形截面的简支梁在跨长 l 的中点处承受 集中荷载 F