华南师范大学：《MATLAB数值分析实验》课程教学资源（作业习题）实验15 特征值与特征向量 参考答案

实验15特征值与特征向量 参考答案 1.标准幂法求主特征值和特征向量的函数： function[lambda,V,k]=powerm(A,X,epsilon.,maxl)(见代码文件) 由Matlab自带的eig函数容易求得矩阵A的特征值为：1=3,2=2,3=1： 对应的特征向量为： -0.25 0.5 0.5 V= 0.25 -0.25 1 1 取迭代初始向量为V=[111]',容许误差限epsilon-=l0-12,最大迭代次数maxl=l00,由自 编函数powerm求得的主特征值为 2=3.00000000000141,对应特征向量为 V=[-0.2499999999997640.251]',迭代次数k=69,收敛速度为线性。 2. 利用相似变换对矩阵进行降阶并求次大特征值和特征向量的函数： function[Rlam2,x2]=decorder(A,lambda,V)(见代a码文件) 取上题迭代求得的主特征值=3和对应特征向量V=-0.250.251]'为输入参数，求得 收缩后的分块矩阵为 [3-441 R=010 l012 次大特征值为=2.00000000000091，对应的特征向量为 V=0.499999999999886-0.249999999999886-11,迭代次数k=41,收敛速度为线性。 继续使用降阶法程序，可以把矩阵A的所有特征值按模从大到小依次求出，并得到相应 的特征向量。 3.移位反幂法求矩阵接近某给定数值的特征值及对应特征向量的函数： function [lambda,V,k]=invpowerm(A,X,alpha,epsilon,max1) 取迭代初始向量为V=[111]',alpha=0.9,容许误差限epsilon=10-12,最大迭代次数 maxl=lO0,由自编函数invpowerm.求得的特征值为λ=l,对应的特征向量为 V=[-0.50.51]',迭代次数k=15,收敛速度为线性。 4.Aitken加速求主特征值的函数： function[lambda,,V,cnt]=aitkeneig(AX0,epsilon,maxl)(见代码文件) 取迭代初始向量为V=[111]',由自编函数aitkeneig.求得的主特征值为 =3.00000000000037,对应特征向量为 V=[-0.2499999660858070.250000033914131.00000013565652] 迭代次数k=36,收敛速度为线性

实验 15 特征值与特征向量 参考答案 1. 标准幂法求主特征值和特征向量的函数： function [lambda,V,k]= powerm(A,X,epsilon,max1)（见代码文件） 由Matlab自带的eig函数容易求得矩阵A的特征值为：λ1= 3，λ2= 2，λ3= 1； 对应的特征向量为： 𝑉1 = [ −0.25 0.25 1 ], 𝑉2 = [ 0.5 −0.25 −1 ], 𝑉3 = [ 0.5 −0.5 −1 ] 取迭代初始向量为V=[1 1 1]’，容许误差限epsilon=10-12，最大迭代次数max1=100，由自 编函数powerm求得的主特征值为 λ= 3.00000000000141，对应特征向量为 V=[ -0.249999999999764 0.25 1]’，迭代次数k = 69，收敛速度为线性。 2. 利用相似变换对矩阵进行降阶并求次大特征值和特征向量的函数： function [R,lam2,x2]=decorder(A,lambda,V) （见代码文件） 取上题迭代求得的主特征值λ= 3和对应特征向量V=[-0.25 0.25 1]’为输入参数，求得 收缩后的分块矩阵为 R = [ 3 −4 4 0 1 0 0 1 2 ] 次大特征值为λ= 2.00000000000091，对应的特征向量为 V=[0.499999999999886 -0.249999999999886 -1]’，迭代次数k = 41，收敛速度为线性。 继续使用降阶法程序，可以把矩阵A的所有特征值按模从大到小依次求出，并得到相应 的特征向量。 3. 移位反幂法求矩阵接近某给定数值的特征值及对应特征向量的函数： function [lambda,V,k]=invpowerm(A,X,alpha,epsilon,max1) 取迭代初始向量为V=[1 1 1]’，alpha=0.9，容许误差限epsilon=10-12，最大迭代次数 max1=100，由自编函数invpowerm求得的特征值为λ=1，对应的特征向量为 V=[ -0.5 0.5 1]’，迭代次数k = 15，收敛速度为线性。 4. Aitken加速求主特征值的函数： function [lambda,V,cnt]=aitkeneig(A,X0,epsilon,max1) （见代码文件） 取迭代初始向量为V=[1 1 1]’，由自编函数aitkeneig求得的主特征值为 λ= 3.00000000000037，对应特征向量为 V=[ -0.249999966085807 0.25000003391413 1.00000013565652]’ 迭代次数k = 36，收敛速度为线性