《结构化学基础》课程电子教案（课件讲稿）04 第二章 原子的结构和性质 2.1 单电子原子的Schrődinger方程及其解 2.1.1 单电子原子的Schrődinger方程

计算实例(1)粒子在箱中的平均位置x，因为xan”坐标位置算符即没有本征值，只能求坐标位置的平均值中=（2/1)1/2sin(nnx/1）

计算实例 (1) 粒子在箱中的平均位置 坐标位置算符 ＝ x，因为 ψn ≠ aψn ， 即没有本征值，只能求 坐标位置的平均值 ψn = (2/l)1/2 sin(nπx/l) x ˆ x ˆ

=Jo'n*x Wn dT=(2/l) Jo'x sin2(nTTx/l) dx=1/2由计算结果可知，粒子的平均位置在势箱的中央，与其物理意义相符

 = ∫0 l ψn * x ψn dτ  = (2/l) ∫0 l x sin2 (nπx/l) dx  = l/2  由计算结果可知，粒子的平均位置在势箱的  中央，与其物理意义相符

（2）粒子的动量沿×轴分量pxP (-ih/2) d/dx动量算符Pun + an,可以证明表明，不是的动量分量算符的本征函数，所以动量算符没有本征值，只能求动量的平均值

 （2）粒子的动量沿 x 轴分量 px  动量算符 ＝ (－ih/2π) d/dx  可以证明 ψn ≠ aψn ，  表明ψn 不是的动量分量算符的本征函数，所以  动量算符没有本征值，只能求  动量的平均值 ˆ x p ˆ x p

= Jo'WnWndrp=(2/l)J。sin(nTTx/l)X (ih/2) (d/dx) sin(nTTx/l) dx=（ih/l)J。sin(nTTx/l)(d/dx）sin(nTTx/l)dx=（-ih/l)/sin(nTTx/l)dsin(nTTx/l)

 = ∫0 lψn * ψn dτ  = (2/l) ∫0 l sin(nπx/l) × (－ih/2π) (d/dx) sin(nπx/l) dx  = (－ih/πl) ∫0 l sin(nπx/l)(d/dx) sin(nπx/l) dx  = (－ih/πl)∫0 l sin(nπx/l) d sin(nπx/l) ˆ x p

= (一ih/l)(1/2) sin2(nTTx/l)lo=0平均动量为零，说明箱中粒子正向运动和逆向运动应当相等。（2）粒子的动量平方P2值

 = (－ih/πl)( 1/2) sin2 (nπx/l) 0 l  = 0  平均动量为零，说明箱中粒子 正向运动和逆向运动 应当相等。  (2) 粒子的动量平方 Px 2 值

动量px?的算符为PF(- h2/42) d2/dx2中，是它的本征函数，所以直接计算P=（h2/42)d2/dx2(2/l)1/2sin(nTTx/l)

 动量 px 2 的算符为  ＝(－h2 /4π2 ) d2 /dx2  Ψn 是它的本征函数，所以直接计算  ψn ＝ (－h2 /4π2 ) d2 /dx2 (2/l)1/2sin(nπx/l) 2 ˆ x p 2 ˆ x p

= (—h2/42) (2/l)1/2(d/dx)cos(nTTx/)(nTT/l)=(一h2/42) (2/l)1/2[-sin(nx//]（nTT/l)2=(h2/42)（nT/)=(h2/412)npx2=n2h2/412

 ＝ (－h2 /4π2 ) (2/l)1/2 (d/dx) cos(nπx/l)( nπ/l)  = (－h2 /4π2 ) (2/l)1/2 [- sin(nπx/l )] ( nπ/l)2  = (h2 /4π2 ) ( nπ/l)2ψn = (n2h2 /4 l2 )ψn  px 2 = n2h2 /4 l2

由计算结果可知，箱中粒子的p?有确定的数值■其值为n2h21412根据假设，箱中粒子的势能V=0，其总能等于它的动能，即E=p2/2m=n2h2/8m12与解Schrodinger方程结果一致

 由计算结果可知，箱中粒子的 px 2 有确定的数值，  其值为 n2h2 /4 l2 。  根据假设，箱中粒子的势能 V=0，其总能等  于它的动能 ，即  E = p2 /2m = n2h2 /8m l2  与解 Schrődinger 方程结果一致

从一维势箱中粒子的实例，总结出量子力学处理微观体系的一般步骤为（1）根据体系的物理条件，先写出势能函数，进一步写出H算符和Schrodinger方程（2）解Schrodinger方程，根据合格条件求出中.和En

 从一维势箱中粒子的实例，总结出量子力学  处理微观体系的一般步骤为：  (1) 根据体系的物理条件，先写出 势能函数，进  一步写出 Ĥ 算符 和 Schrődinger 方程。  (2) 解 Schrődinger 方程，根据合格条件求出  ψn 和 En

（3）描绘n，I,12等的图形，讨论它的分布特点。（4）由所得的。，求各个对应状态的各种物理量的数值，了解体系的性质，（5）联系实际问题，对所得结果加以应用

 （3）描绘ψn ， ψn 2 等的图形，讨论它的分布  特点。  （4）由所得的ψn ，求各个对应状态的各种物理量  的数值，了解体系的性质。  （5）联系实际问题，对所得结果加以应用