《结构化学基础》课程电子教案（课件讲稿）05 第二章 原子的结构和性质 2.1.3 Φ方程的解 2.1.4 单电子原子的波函数

中方程的解2. 1. 3移项，得中方程为d2/d2=-md2/d2+m=0这是一个常系数二阶齐次线性方程，根据它的特征方程p2+m2=0的两个根：P=±Imli

2．1．3 Φ方程的解 Φ方程为 d2Φ/dφ2 = -mΦ 移项，得 d2Φ/dφ2 ＋ mΦ = 0 这是一个常系数二阶齐次线性方程，根据它的 特征方程 p2+m2 = 0 的两个根： P = ± m i

得到它的两个复函数形式的独立特解，即中m(Φ) = A e im式中：m=±Iml常数A可由归一化条件中㎡*中md=1求出J.2mm*Φmd=A2.2e-imgeimpdp=A22T

 得到它的两个复函数形式的独立特解，即  Φm(φ) = A e imφ  式中 ： m =± m  常数 A 可由归一化条件∫Φm *Φmdφ = 1 求出，  1 = ∫0 2πΦm *Φm dφ  = A2 ∫0 2πe -imφ e imφ dφ = A2 2π

A = (1/2)1/2代入中方程的解，得中m()= (1/2TT)1/2eim这是中方程解的复数形式。为了符合波函数的品优条件，Φm（9）应是变量β的单值函数。由于是循环坐标，在β变化一周后，中m（）的值应保持

 A = (1/2π)1/2  代入Φ方程的解，得  Φm(φ)= (1/2π)1/2 e imφ （*）  这是Φ方程解的复数形式。为了符合波函数的品优  条件，Φm(φ) 应是变量φ的单值函数。由于φ是  循环坐标，在φ变化一周后，Φm(φ)的值应保持

于是有：■不变，即Φm()=中m(Φ十2)eim = e im (+2m)im2Timpe-im2T=得e根据Euler公式：eti=cosp土isinp im2 =cos(2m) +isin (2mT)=1

 不变，即 Φm(φ)＝Φm(φ＋2π) 于是有：  e imφ ＝ e im（φ＋2π)  ＝ e imφe im2π  得 e im2π ＝ 1  根据 Euler 公式： e ±iφ = cosφ ± i sinφ  e im2π ＝cos(2mπ) + i sin (2mπ)=1

■上式只有当m=0，±1，±2，..时才能成立，也就是说m的取值只能是量子化的，称m为磁量子数(*)式为复数形式的Φ函数，它是角动量沿z轴分量算符M的本征函数。M(-ih/2)d/dp

 上式只有当 m＝0，±1，±2，.时才能成立，  也就是说 m 的取值只能是量子化的， 称  m 为磁量子数  (*)式为复数形式的Φ函数，它是角动量沿 z  轴分量算符 的本征函数 。  ＝ (－ih/2π) d/dφ ˆ M z ˆ M z

它对了解角动量在z方向分量具有重要意义但是复数函数不便于作图，不能用图形了解原子轨道或电子云的分布，因此我们要找出它的实函数解根据态叠加原理，将两个独立特解进行线性组合，仍是中方程的解。因复数形式的中函数可写成

 它对了解角动量在 z 方向分量具有重要意义。  但是复数函数不便于作图，不能用图形了解原子轨  道或电子云的分布，因此我们要找出它的实函数解。  根据态叠加原理，将两个独立特解进行线性组  合，仍是Φ方程的解。  因复数形式的 Φ函数 可写成 ：

中m(P) = (1/2r)1/2 eim=(1/2)1/2[cos(m)+ isin(m)中-m() =(1/2T)1/2e -imp=（1/2)1/2[cos（m）-isin(mp)

Φm(φ) = (1/2π)1/2 e imφ = (1/2π)1/2 [cos(mφ) + i sin(mφ] Φ-m(φ) = (1/2π)1/2 e –imφ = (1/2π)1/2[ cos(mφ) - i sin(mφ)]

将它们线性组合，得实函数解为Φcos±m= C (Φm + Φ=2C(1/2T)1/2cos(m)dsin=D(Φm-Φ-m土m=2Di(1/2)1/2sin(m）根据归一化条件可求出C和D分别为：

 将它们线性组合，得实函数解为  Φcos ±m = C (Φm + Φ-m)  = 2C(1/2π)1/2 cos(mφ)  Φsin ±m = D (Φm - Φ-m)  = 2Di(1/2π)1/2sin(mφ)  根据归一化条件可求出 C 和 D 分别为：

C = (1/2)1/2 , D = 1/i(2)1/2■代入，得Φcos±m =(1/)1/2 cos(mp)dsin=(1/)1/2 sin(m)土mM算符的本征函数，所以这两个实函数不是不能用来了解角动量沿z轴分量。但它便于作图

 C = (1/2)1/2 ，D = 1/i(2)1/2  代入，得  Φcos ±m =(1/π)1/2 cos(mφ)  Φsin ±m =(1/π)1/2 sin(mφ)  这两个实函数不是 算符的本征函数，所以  不能用来了解角动量沿z轴分量。但它便于作图。 ˆ M z

所以这两种形式的解都是很有用的。将m=0，±1，±2的值代入Φ方程可得一系列中方程的解，见表：1.会写单电子原子的薛定方程重2.了解直角坐标变换为极坐标的方法，3.了解变数分离法

 所以这两种形式的解都是很有用的。  将 m = 0，±1，±2 的值代入Φ方程，  可得一系列Φ方程的解，见表：  1. 会写单电子原子的薛定谔方程 。 重  2.了解直角坐标变换为极坐标的方法。 点  3.了解变数分离法