北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 二次型 第一节 二次型及其矩阵表示

第一节二次型及其矩阵表示 二次型的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 上页 这回

第一节 二次型及其矩阵表示 • 一、二次型的概念 • 二、二次型的表示方法 • 三、二次型的矩阵及秩

一、二次型及其标准形的概念 定义1含有n个变量x1,x2,,xn的二次齐次函数 fx2,x)=auxi+azx2++amxn +2a12X1x2+213x1x3+…+2an-l,nxn-1xn 称为二次型 当an是复数时，称为复二次型； 当是实数时，称为实二次型

一、二次型及其标准形的概念 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + +    称为二次型. 定 义1 含 有n个变量x1 , x2 ,  , xn的二次齐次函数 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型

只含有平方项的二次型 f=kyky++ky 称为二次型的标准形（或法式）· 例如 f(x1,x2,x3)=2x+4x号+5x3-4xx3 f(x1,x2,x3)=xx2+x3+x2x3 都为二次型； f(1,x2,x3)=x2+4x+4x 为二次型的标准形 上页 这回

只含有平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n f = k y + k y ++ k y 称为二次型的标准形（或法式）． 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = x + 4x + 4x 为二次型的标准形. ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x

二、二次型的表示方法 1.用和号表示 对二次型 f(xx2x)=auxi+azx2++amxm +2a12x1x2+2a13x1x3+:+2annx 取an=ag,则2axxi=agxx+aixx,于是 f=411x2+012x1x2++41mx1xn +a21x2x1+02x2+…+a2mx2xn amn+am22+am =】 .a时xixj i,j=1

1．用和号表示 ( ) n n n n n nn n a x x a x x a x x f x x x a x a x a x 1 2 1 2 1 3 1 3 1, 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , + + + + − − = + + +    对二次型 a a , 取 ji = ij 2a x x a x x a x x , 则 ij i j = ij i j + ji j i 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ . , 1 a xi x j n i j =  ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn 二、二次型的表示方法

2.用矩阵表示 f =411X1+012X1x2+…+41mx1xn +421X2X1+22X2+.+42nx2xm am+an2x2++amxz =x1(a11x1+412x2+…+a1nxn) +x2(a21x1+a22X2+…+a2mXn) +.+xn(anix1tan2x2++amnxn) 11X1+a12x2+…+a1mxn a21X1+022x2+…+2nxm =（X1,x2,,Xn) nlx1+0n2x2+…+amxn 上页

2．用矩阵表示 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + ++ a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 ++ + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 ++ ann xn ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 n n n nn n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x + + + + + + + + + = + + +                   + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x      1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 ( , , , )

L12 L21 022 Cn2 011 412 记 A- 21 22 xX= 则二次型可记作f=xTAx,其中A为对称矩阵

则二次型可记作 f x Ax,其中A为对称矩阵. T = , , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               =               = n n nn n n n x x x x a a a a a a a a a A         记 ( )                             = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x          2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , ,

三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型.这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系. 对称矩阵A叫做二次型f的矩阵； f叫做对称矩阵4的二次型； 对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩 回

三、二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的 秩

例1写出二次型 f=x+2x2-3x3+4x1x2-6x2x3 的矩阵 解 01=1,a2=2,033=-3, 412=421=2,03=031=0, L23=032=-3. (1 2 ..A= 2 2 0 3 -3 上页

解 a 1, a 2, a 3, 11 = 22 = 33 = − a a 2, 12 = 21 = a a 0, 13 = 31 = a a 3. 23 = 32 = − . 0 3 3 2 2 3 1 2 0   − −  A = − . 2 3 4 6 1 2 2 3 23 22 21 的矩阵 写出二次型 f = x + x − x + x x − x x 例１