北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第一章 行列式 第五节 克莱姆法则

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第五节、克莱姆法则 ➢ 重要概念 ➢ 克莱姆法则 ➢ 例子

非齐次与齐次线性方程组的概念 设n元线性方程组 ax+a2x2+..+aunxn=b azx+a22x2+...+a2nxn=b2 (1) anx+an2x2++amxn=b

11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = 设 元线性方程组 非齐次与齐次线性方程组的概念 n

(i,j=1,2,…,n)称为（①）的系数 若常数项勋，b2,,b不全为零，则称此方程组为 非齐次线性方程组； 若常数项b,b2,,bn全为零，此时称方程组为 齐次线性方程组 上页 回

, , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为 非齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 齐次线性方程组. ( , 1, 2, , ) (1) ij a i j n = 称为 的系数 此时称方程组为

n元线性方程组的系数行列式 1 C12 D= 21 022

n元线性方程组的系数行列式 11 12 1 21 22 2 1 2 . n n n n nn a a a a a a D a a a =

D,是把系数行列式D中第j列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式， 即 a11…aJ-1ba+1…am D an1…an-1 bn ant1…am 242 这回

是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n 11 1, 1 1 1, 1 1 1 , 1 , 1 1 j j n j n n j n n j nn n k kj k a a b a a D a a b a a b A − + − + = = = 

注：克莱姆法则的证明主要利用了代数余子式的 性质。 D i=j 0 i≠ 上页 下页 区回

注: 克莱姆法则的证明主要利用了代数余子式的 性质. 1 , 0, n ik jk k D i j a A i j =  = =    

克莱姆法则 如果线性方程组 411x1+412x2+…+41mxn=b1 21x1+22x2+…+02mXn=b2 (1) anx1+an2x2++anxn=bn 的系数行列式不等于零 上页 返回

一、克莱姆法则 如果线性方程组 (1) 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     的系数行列式不等于零

那么线性方程组1)有解，并且解是唯一的，解 可以表为 (2) 其中D,是把系数行列式D中第列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即 a10-1ba1+1…an D,=

其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n n n , j n n , j nn , j , j n j a a b a a a a b a a D      1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 − + − + = 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 (1) . D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 (2)

证明：先征明（2)式(1)的解，只需要验证(2) 满足(1)中的每一个方程，即 an D 去分母 a1D+a2D2+…+anDn=bD 上页 这回

证明：先征明（2）式（1）的解，只需要验证(2) 满足（1）中的每一个方程，即 1 2 1 2 ( 1, 2, , ) n i i in i D D D a a a b i n D D D + + + = = i i in n i 1 1 2 2 a D a D a D b D + + + = 去分母

将D,代入上式左端得 左端=a,1(b,A1+b2A21+…+bnA1) +a2(bA12+b2A22+·+bnA,2) ain(bAin+B242n++B4m) = b (anA+a242+...+amAin) ☒无法显示该片。···” +b(aA1+a2A2+…+anAn) +b(a1A1+a2A2++amAm） =bD 上页

将 Dj 代入上式左端得 1 1 11 2 21 1 2 1 12 2 22 2 1 1 2 2 1 1 11 2 12 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i n n i n n in n n n nn i i in n i ii i i i in in n i n i n in nn i a b A b A b A a b A b A b A a b A b A b A b a A a A a A b a A a A a A b a A a A a A b = + + + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + = 左端 D