北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 线性方程组 第六节 线性方程组解的结构

第入节线性方程组解的结构 非齐次线性方程组： ax+a2x2+.+ainxn=b a21x1+a22x2+...+a2nxn=62 (10) amix+am2x2++amnxn=bm 如果有解(1)称为相容，否则(1)称为不相容

第六节 线性方程组解的结构 非齐次线性方程组:       + + + = + + + = + + + = m m m n n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b    1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 ................................ (1) 如果有解(1)称为相容,否则(1)称为不相容

41u a 记 a2 a22 A= a2n X= b= … dm Am2 b AX=b (2) 记A=(Ab)为方程组(1)或(2) 的增广矩阵 将A按列分块成为 A=(Q1 方程组(1)或(2) 可以写成 K

记:               = m m mn n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1               = n x x x X  2 1               = m b b b b  2 1 AX = b (2) 记 A = (A b) 为方程组(1)或（2）的增广矩阵 将 A 按列分块成为 ( ) A = 1 2  n 方程组(1)或（2）可以写成

(a d2 =b 即 +x202++xn0n=b 3) 下面四种说法等价： 方程组（①）有解； 向量b可以由向量组g,a2,,an线性表出； 向量组a,a,,a,与向量组a, an,b等价： ● 系数矩阵4=(a1a2…a,)与增广矩阵a=(db)秩相等 方程组(1)或(2)对应的齐次线性方程组为 4X=0 (4) 称(4为(1)或(2)的导出组

( ) 1 2  n               n x x x  2 1 =b 即 x11 + x22 ++ xnn = b (3) 下面四种说法等价： ● 方程组(1)有解; ● 向量b可以由向量组  n , , , 1 2  线性表出; ● 向量组  n , , , 1 2  与向量组  n , , , 1 2  ,b等价; ● 系数矩阵 ( ) A = 1 2  n 与增广矩阵A = (A b)秩相等. 方程组（1）或（2）对应的齐次线性方程组为 AX=0 (4) 称(4)为（1）或（2）的导出组

定理7（相容性判别定理）方程组（①有解的充分必要条件是系数矩 阵A与增广矩阵A的秩相等。即R(A)=R(A) 性质1非齐次线性方程组(1的两个解)，2的差，-2是其导出 组(4)的解 性质2设是非齐次线性方程组()的一个解，5是（的导出组(4） 的解，则7+5是非齐次线性方程组(1)的解。 定理8设)是非齐次线性方程组(1)的一个解，气，52，，5m,是 其导出组(4)的基础解系，则x=刀+k气+k52++kn,5n,是非 齐次线性方程组(1)的通解， K

定理 7 (相容性判别定理) 方程组(1)有解的充分必要条件是系数矩 阵 A 与增广矩阵 A的秩相等。即 R(A)=R( A) 性质 1 非齐次线性方程组(1)的两个解 1 2  ,  的差1 −2是其导出 组（4）的解. 性质 2 设是非齐次线性方程组(1)的一个解,  是(1)的导出组（4） 的解,则  +是非齐次线性方程组(1)的解. 定理 8 设 *  是非齐次线性方程组(1)的一个解,    n−r , , , 1 2  是 其导出组（4）的基础解系,则 n r n r x k k k = + 11 + 2 2 ++ −  − * 是 非 齐次线性方程组(1)的通解

求非齐次线性方程组(1)的结构式通解的一般步骤： (一)写出方程组(1)的增广矩阵A (二)对A做初等行变换，化为阶梯形B型阵，求R(A),R(4) 判断 ()如果R(4)≠R(A),则方程组无解： (ⅱ)如果R)=(A)=(未知量个数)，则方程组(1)有 唯一解： (进)如果R(4)=R(A)=r<n,则方程组(1)有无穷多解。 (三)在方程组有解时，由阶梯形B型阵写出方程组(1)的同 解方程组，求出它的一个特解)，（在有唯一解的情况下n 即为唯一解)；再求出它的导出组的一个基础解系 气，五，，5，；则方程组(1)的通解 x=刀+k51+k252++kn-,5m-

求非齐次线 性方程组（1）的结构式通解的一般步骤： （一）写出方程组（1）的增广矩阵A （二）对A做初等行变换，化为阶梯形 B 型阵，求 R（A）,R(A), 判 断 （i） 如 果 R(A)≠R(A),则方程组无解； （ⅱ）如果 R(A)=R(A)=n(未知量个数），则方程组（1） 有 唯一解； （ⅲ）如果 R(A)=R(A)=r < n,则方程组（1）有无穷多解。 （三）在方程组有解时，由阶梯形 B 型阵写出方程组（1）的同 解方程组，求出它的一个特解 *  ,（在有唯一解的情况下 *  即 为 唯 一 解 ）； 再 求 出 它 的 导 出 组 的 一 个 基 础 解 系    n−r , , , 1 2  ；则方程组（1）的通解 n r n r x k k k = + 11 + 2 2 ++ −  − *

1-2-X3+X4=0, 例1求解方程组 1-x2+X3-3x4=1, -x2-2x3+3x4=-1/2. 解 对增广矩阵A施行初等行变换： 1-1-11 A=1 -1 1-1 3 -1/2 1/2 1/2 0 CT

例1 求解方程组      − − + = − − + − = − − + = 2 3 1 2. 3 1, 0, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 对增广矩阵A 施行初等行变换:             − − − − − − − = 1 1 2 3 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 0 A , 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 ~           − − −

可见R(A)=R(A)=2,故方程组有解，并有 1=x2+x4+1/2, 3= 2x4+1/2. 取=心=0，则1=2即得方程组的一个解 1y2 n= 0 1/2 在对应的齐次线性方程组 1=2+4中，取 2X4

可见R(A) =R(A) =2 ,故方程组有解,并有    = + = + + 2 1 2. 1 2, 3 4 1 2 4 x x x x x 0, 取x2 = x4 = , 2 1 则x1 = x3 = 即得方程组的一个解 . 0 1 2 0 1 2               =   在对应的齐次线性方程组 中,取 2 , 3 4 1 2 4    = = + x x x x x

-09-0 即得对应的齐次线性方程组的基础解系 1。 1 5 二 02 0 K

, 1 0 0 1 4 2              =      及 x x , 2 1 0 1 3 1              =      则 及 x x 即得对应的齐次线性方程组的基础解系 , 1 2 0 1 , 0 0 1 1 1 2               =                = 

于是所求通解为 1/2 1 0 0 三C的 +C2 (C1,C2∈R) X3 2 2 X4 0 P以

于是所求通解为 ,( , ). 0 1 2 0 1 2 1 2 0 1 0 0 1 1 1 2 1 2 4 3 2 1 c c c c R x x x x                +               +               =              

例2求下述方程组的解 1+X2+X3+x4+X5=7, 3x1+x2+2x3+4-3x5=-2, 2x2+3+2x4+6x5=23, 81+3x2+4x3+3x4-X5=12, 解 1 7 3 121 -3 -2 A 0 2 1 2 6 23 83 43 -1 12

       + + + − = + + + = + + + − = − + + + + = 8 3 4 3 12. 2 2 6 23, 3 2 3 2, 7, 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 解                 − − − = 8 3 4 3 1 12 0 2 1 2 6 23 3 1 2 1 3 2 1 1 1 1 1 7 A 例2 求下述方程组的解