北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第七章 欧氏空间 第一节 向量的内积与欧氏空间

第一节向量的内积与欧氏空间 一、欧氏空间的定义 在线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法和数量乘法。如果我们以几何空间中的向量作 为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现 向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间 理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许 多问题中有着特殊的地位，因此有必要引入度量 的概念。 回

第一节 向量的内积与欧氏空间 一、欧氏空间的定义 在线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法和数量乘法。如果我们以几何空间中的向量作 为线性空间理论的一个具体模型，那么就会发现 向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间 理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许 多问题中有着特殊的地位，因此有必要引入度量 的概念

在解析几何中，向量的长度与夹角等度量 性质是通过向量的内积来表示的，而向量的内 积具有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中， 我们取内积作为基本的概念。 定义1设V是实数域R上的线性空间，对V中任 意两个元素，， 确定一个实数(，)，如 果它具有以下性质 (1)(a,B)=(B,a); (2)(ka,B)=k(a,B);

在解析几何中，向量的长度与夹角等度量 性质是通过向量的内积来表示的，而向量的内 积具有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中， 我们取内积作为基本的概念。 定义 1 设V是实数域R上的线性空间，对V中任 意两个元素 ， ，确定一个实数（ , )，如 果它具有以下性质 (1) (, ) = ( ,); (2) (k, ) = k(, );

(3)(a+B,y）=(a,y）+(B,y); (4)(a,a)≥0，当且仅当a=0时(a,a)=0; 这里 是中任意的向量，是任意实 数， (a,a) 这样的线性空间称为欧几里得空间， 称为 例气对单腔罐向量空间取中的向量 0=(a,42,…,n),B=(1,b2,,bn)7 定义 (a,β)=ab+ab2+…+anbn=∑a,b

(3) ( +  , ) = (, ) + ( , ); (4) (,)  0, 当且仅当  = 0 时 (,) = 0; 这里 ， ， 是V中任意的向量，k是任意实 数， 这样的线性空间称为欧几里得空间， 称为 与 的内积。 (,) 例 1 对于n 维向量空间Rn中的向量 T n T (a ,a ,...,an ) , (b ,b ,...,b )  = 1 2  = 1 2 定义 = = + + + = n i a b a b anbn aibi 1 1 1 2 2 (, )

则数(，)被唯一确定，并且满足 (1)(a,B=2ab=2,a,=(p,a (2)(ka,f)=∑ka,b,=k∑b,=k(a,B月 (3) 如果y=(c,c2,,cn),则(a+B,y)= 2a+6k,-2ac+6c)-a,r)+(B,7片 (4)(a,a)=∑a≥0，当且仅当a=0时 i-1 (a,a)=O;所以向量空间R"在所定义的内积下 构成一个欧氏空间

则数（ , ）被唯一确定，并且满足 （1） ( , )   ( , ); = = = = = n i n i aibi biai 1 1     （2） ( , ) ( )  ( , ); = = = = = n i i i n i k kai bi k a b k 1 1     （3）如果 ( , ,..., ) , T n c c c = 1 2  则 ( +  , ) = ( + ) = ( + ) =(, ) + ( , ); = = n i n i i i i i i i i a b c a c b c 1 1 （4） ( , ) 0, 1 2 =   = n i   ai 当且仅当 ai = 0 时 (,) = 0; 所以向量空间Rn在所定义的内积下 构成一个欧氏空间

二、向量的长度和夹角 在欧氏空间中也可以引入向量的长度和夹 角的概念。 定义2非负实数、√(a,a)称为向量的长度，记 为a。显然ka=ka。 定理1(Cauchy--Schwarz不等式)对于欧氏空 间中任意两个向量， 有 (a,β)≤aβl 当且仅当 线性相关时，等号成立。（证 略)

二、向量的长度和夹角 在欧氏空间中也可以引入向量的长度和夹 角的概念。 定义 2 非负实数 称为向量 的长度，记 为 。显然 。 (,)  k = k  定理1 （Cauchy-Schwarz不等式）对于欧氏空 间中任意两个向量 ， 有 (, )    当且仅当 ， 线性相关时，等号成立。（证 略）

定义3设 是欧氏空间中的两个非零向量， 规定 =arccos (a,B) (0≤0≤π) aB 为向量 与 的夹角。 定义4设V是一个欧氏空间， V。如 果(，)=0，则称与是正交的， 记作 上页

定义 3 设 ， 是欧氏空间中的两个非零向量， 规定      ( , ) = arccos (0     ) 为向量 与 的夹角。 定义 4 设V 是一个欧氏空间， ， V。如 果( , ) = 0 ，则称 与 是正交的，记作