北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 线性方程组 第三节 向量组的秩

第三节向量组的秩 >向量组的等价 >向量组的秩 >小结

第三节 向 量 组 的 秩 ➢ 向量组的等价 ➢ 向量组的秩 ➢ 小结

向量组的等价 定义1(（I)a,,&,()B,…,B 如果向量组(I)中的每个向量都可以 由()中的向量线性表示，则称(T) 可由（Ⅲ）线性表示 如果向量组(I)与)可以互相线性 表示，则称(I)与（等价

一、向量组的等价 , , (II) , , (II) (II) (II) (II) 定义 1： (I)     1 1 r s 如果向量组(I) 中的每个向量都可以 由 中的向量线性表示，则称(I) 可由 线性表示； 如果向量组(I) 与 可以互相线性 表示，则称(I) 与 等价

例子 ①41=(1,2,3)7，a2=(1,0,2)7 DB=(3,4,8),B2=(2,2,5),B=(0,2,1) 由于%=阝一B,2=2B,一B,故D可以由四线性 表示： 由B=21+02,B2=041+02,B3=C1-C2 故)可以由线性表示； 所以①⑩与等价

例子 1 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 3 1 2 (I) (1, 2,3) , (1,0, 2) (II) (3, 4,8) (2, 2,5) , (0, 2,1) , 2 , (I) (II) 2 , , (II) (I) (I) (II) T T T T T                     = = = = = = = = + = + = − ， 由于 － － 故 可以由 线性 表示； 由 故 可以由 线性表示； 所以 与 等价

注意1： 由定义1可知，如果()可以由()线性表示，则 a1=a1f+…+af 02=a12B+…+a2月 a,=a月++an月

注意1： 1 11 1 1 2 12 1 2 1 1 1 ( ) ( ) s s s s r r sr s I II a a a a a a           = + +   = + +     = + + 由定义 可知，如果 可以由 线性表示，则

将上式用矩阵乘积表示如下 (C%,C2,…C,)=(B,阝2，…f)4 其中 a1141 …1 d21 a22 …02 A= 。 as2

将上式用矩阵乘积表示如下: 1 2 1 2 ( , , ) ( , , )       r s = A 其中 11 11 1 21 22 2 1 2 r r s s sr a a a a a a A a a a       =        

由定义可知每一个向量组都可以由它 自身线性表示。同时，若，2，…Q 由向量组B,B,…B线性表示 向量组B,B2,…B由向量组Y2…y 线性表示 看一看C,2,…a4与…y,之间的关系

1 2 1 2 1 2 1 2 s s p p                   1 2 r 1 2 r 由定义可知每一个向量组都可以由它 自身线性表示。同时，若 ， ， 由向量组 ， ， 线性表示 向量组 ， ， 由向量组 ， ， 线性表示 看一看 ， ， 与 ， ， 之间的关系

(0,02,…Cn)=(B,B2,…B)A (B,B2,…阝)=(Y1Y2…p)B 则 (1,C2,…0)=(,Y2…yp）BA 由上述可知，(1，a2,o必，)可由 1,2…Yp） 线性表示

1 2 1 2 ( , , ) ( , , )       r s = A 1 2 1 2 ( , , )       s p =（ ， ， ）B 1 2 1 2 ( , , )       r p =（ ， ， ）BA 则 1 2 1 2 ( , , ) r p       由上述可知， 可由 （ ， ， ）线性表示

向量组的等价关系具有下述性质： (1)反身性 ①⑩与①等价 (2)对称性 若①与山四等价，则四与①等价 (3)传递性 若①与四等价，Ⅲ)与四等价， 则①与⑩等价

向量组的等价关系具有下述性质： （1）反身性 (I)与(I)等价 （2）对称性 若(I)与(II)等价，则(II)与(I)等价 （3）传递性 若(I)与(II)等价, (II)与(III)等价， 则(I)与(III)等价

向量组的秩 定义2 设有n维向量组T,如果在T的r个向量 01,C2,…,a, 满是 (①) 0,C2,…,C线性无关： (2)T中任意向量0都可以由c,Q2,…,Q, 线性表示 那么称Q,必2，…，0以，是T的极大线性无关组，简称极大 无关组

1 2 1 2 1 2 1 2 , , , 1 , , , (2) , , , , , , r r r r n T T r T T              设有 维向量组 ，如果在 的 个向量 ，满足 （） 线性无关； 中任意向量 都可以由 ， 线性表示； 那么称 是 的极大线性无关组，简称极大 无关组 定义 2 二、向量组的秩

注意 极大无关组中极大的含义 极大无关组的含义有两层：1无关性，2极大性 任意向量组都与其自己的极大无关组等价

注意 ◆ 极大无关组中极大的含义 ◆ 极大无关组的含义有两层：1无关性;2.极大性. ◆ 任意向量组都与其自己的极大无关组等价