北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 线性方程组 第二节 向量组的线性相关性

第二节向量组的线性相关性 向量的线性表示、线性组合 二 线性相关性的概念 三线性相关性的判定 四线性相关性的性质

第二节 向量组的线性相关性 一 向量的线性表示、线性组合 二 线性相关性的概念 三 线性相关性的判定 四 线性相关性的性质

向量的线性表示、向量 的线性组合 例如对于一般的齐次线性方程组 aux+a2x2+L ainx =0 a2x1+a22x2+L+42nxn=0 am+am2x2+L+amxn=O 系数矩阵A=(a,)按列分块，得A=(a1,a2,L,am)

例如 一 、向量的线性表示、向量 的线性组合 对于一般的齐次线性方程组 ........................................... n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x                  ìï + + + = ï ï ï ï + + + = í ï ï ï ï ï + + + = ïî L L L 系数矩阵 ( )ij A= a 按列分块，得 ( , , , ) A= α α α   L m

若记未知量为 则方程组可表示成 xa+xa,+L x,an= 0

n n x x x     α + + + = α L α  则方程组可表示成 若记未知量为 n x x x   x 骣ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç桫÷ M

线性方程组是否有解归结为上式是否有解。 即就是矩阵的列向量加权和等于零 >合

线性方程组是否有解归结为上式是否有解。 即就是矩阵的列向量加权和等于零

定义1 a,4,a,L,an是m+1个n维向量 设 如果存在一组常数2,2，L,使 a=21a+223+L+2Cm, 则称向量Cc是向量组a1,a2,L,Cm 的线性组合： 或称向量a可以由向量a☑，a2,L,am线性 表出

定义１ α α α α = + + + λ λ λ     L m m， 或称向量 可以由向量 线性 表出。 α , , , α α α   L m 如果存在一组常数 λ λ λ   , , , L m 使 则称向量 是向量组 , , , 的线性组合. α α α α   L m , , , , 设 α α α α   L m 是 m+  个 n ， 维向量

例 1 零向 量0 可被任一向量组 ,am 线性表示.这是因 为， 0=0a,+0a2+L+0am ID合

零向量 0 可 被 任 一 向 量 组 , , , α   α L α m 线性表示. 这是因 为 ，   m  = + + +    α α L α . 例 1

例2一向量组a1,a2,L,am 中的每一个向量a（1=1,2,L,m》 都可由该向量组线性表示，即. a,F0a,+L+0a.1+la,+0a41+L+0am

例 2 αi ( , , , ) i m =   L 都可由该向量组线性表示，即. i i i i m    α = + + + + + +      α L L α - + α α α 一向量组 , , , α  α L αm 中的每一个向量

例3任意一个n维向量 a=(a,a,,L ,a,)' 都可以由向量组 6=(1,0,0,L,0), 62=(0,1,0,L,0), LLLLLL, En=(0,0,0,L,1). 线性表出

例 3任意一个 维向量 ( , , , )T n a a a α =   L ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , , , , . T n ε ε ε               L L LLLLLL L T T ， ， ， = = = n 都可以由向量组 线性表出

显然，有 0=( a8a8+L a,n 向量组 81,62,L,em 称为几维单位坐标向量组

显然，有. n n a a a α     = + + + ε ε L ε 向量组 , , ,   n ε ε L ε 称为 n 维单位坐标向量组

如何判断n维向量B可否由n 维向量组a1,a2,L,am 线性表出呢？ 如果能，如何求表出系数呢？ 事实上，向量B能由向量组 a1,a2,L,a t m 线性表出，即

如果能，如何求表出系数呢？ 线性表出呢？ , , , α α α   L m 线性表出，即 事实上，向量 β 能由向量组 , , , 维向量组 α α α   L m 线性表出呢？ 如何判断 n 维向量 β 可否由 n