北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第一章 行列式 第四节 行列式按行（列）展开

第四节行列式按行（列）展开 定义6：在阶行列式中，选定k行k列，将位于这些行 列相交处的元素按原来的相对位置排成一个k阶行列式 N,称N为原行列式的一个k阶子式。把N所在的行、 列划去，剩下的元素按原来的相对位置也构成一个n-k 阶行列式M,称M为N的余子式。如果N所在的行 列分别为，2，…，，，j2,…,店，则称 A=(-1)b*+++h*+M 为N的代数余子式

第四节 行列式按行（列）展开 定义6：在 n 阶行列式中，选定 k 行 k 列，将位于这些行 列相交处的元素按原来的相对位置排成一个 k 阶行列式 N，称 N 为原行列式的一个 k 阶子式。把 N 所在的行、 列划去，剩下的元素按原来的相对位置也构成一个 n – k 阶行列式 M，称 M 为 N 的余子式。如果 N 所在的行、 列分别为 ，则称 1 2 1 2 , , , , , , , k k i i i j j j 1 2 1 2 ( 1) k k i i i j j j A M + + + + + + + = − 为 N 的代数余子式

例 四阶行列式D中，我们选定第一、二两行和 第二、四两列，则得二阶子式N。再从D中划去 第一、二两行和第二、四两列得余子式M, 3 ---------- 2 2 D N M 6 0 -3 -3 进一步，N的代数余子式 A=(-1)+2+2+4M=0

例 四阶行列式 D 中，我们选定第一、二两行和 第二、四两列，则得二阶子式 N。再从D中划去 第一、二两行和第二、四两列得余子式M， 0 3 0 2 1 2 1 4 0 0 3 3 0 6 2 1 2 1 1 2 3 1 2 4 − = − − = − − − − D = N M 进一步，N的代数余子式 ( 1) 0 1 2 2 4 = − = + + + A M

例：计算下面三阶行列式第二列元素的代数余子式 121 01 31 划去2所在的行和列， 03 得子式 注意2在第一行第二列 0 0 所以，2的代数余子式=(1)2

例：计算下面三阶行列式第二列元素的代数余子式 1 2 1 0 1 2 3 1 0 1 2 1 2 0 1 2 3 1 0 划去 所在的行和列， 0 2 2 3 0 得子式 ，注意 在第一行第二列 1+2 0 2 2 = (-1) 6 3 0 所以，的代数余子式 =

划去1所在的行和列 3 1东第=行第=列，代数余了式=产 划去第二列第三个元1所在的行和列， 0 2 -2

1 2 1 1 0 1 2 3 1 0 划去 所在的行和列 ， 2+2 1 1 1 = (-1) 3 3 0 在第二行第二列，代数余子式 = − 1 2 1 1 0 1 2 3 1 0 划去 第二列第三个元 所在的行和列， 3+2 1 1 = (-1) 2 0 2 代数余子式 = −

下面我们首先观测三阶行列式的展开式与代数余子式的 关系 D3=a2 d23 a31 a32 033 =a1a22a3+a12a23a31+a13021032-a13022a31-a12a21a33-411423432 =a1(a22a33-a23a32）-a12(a21a33-a23a31)+a13(a21a32-a22a31） =(-1)}a a21 +(-1)a13 a32 d33 +(-D) 33 a32 =a14+a12A2+a13A3 容易看出行列式的值等于第一行元素与它们对应的代数 余子式乘积之和，于是我们可以得到下面的定理

下面我们首先观测三阶行列式的展开式与代数余子式的 关系 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 31 32 33 21 22 23 11 12 13 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D = + + − − − = ( ) ( ) ( ) 11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31 = a a a − a a − a a a − a a + a a a − a a 31 32 21 22 13 4 31 33 21 23 12 3 32 33 22 23 11 2 ( 1) ( 1) ( 1) a a a a a a a a a a a a a a = − a + − + − 11 11 12 12 13 13 = a A + a A + a A 容易看出行列式的值等于第一行元素与它们对应的代数 余子式乘积之和，于是我们可以得到下面的定理

定理2：阶行列式D等于它的任意一行（列） 所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和， 即D=a4+a242++an4n (i=1,2,…,n) 或D=ay4,+a24,++ag4g(j=1,2,…,n）

定理2：n阶行列式 D 等于它的任意一行（列） 所有元素与它们对应的代数余子式的乘积之和， 1 1 2 2 1 1 2 2 ( 1, 2, , ) ( 1, 2, , ) i i i i in in j j j j nj nj D a A a A a A i n D a A a A a A j n = + + + = 或 = + + + = 即

例1：计算四阶行列式 -1 2 0 0 D 0 0 解：可以选任意一行或一列展开，注意到第二行 有两个元素为零，所以展开计算时只需要计算 两个三阶代数余子式，因此选第二行进行展开， 得 D=0A1+1A2+1·A23+0:A24=2

例1：计算四阶行列式 解：可以选任意一行或一列展开，注意到第二行 有两个元素为零，所以展开计算时只需要计算 两个三阶代数余子式，因此选第二行进行展开， 得 1 0 1 2 0 1 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 D − = − − 21 22 23 24 D A A A A =  +  +  +  = 0 1 1 0 2

例2：n阶Vandermond行列式 an D a 2 0 3 Π(a,-a,) 1sij径n

例 2：n 阶 Vandermond 行列式 1 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 ( ) n n n n n n n n j i i j n a a a a D a a a a a a a a a a − − − −    = = − 

第i行乘以一a1加到第i+1行 1 1 1 a2-4 a43-4 . an-a D.= 0 a2(a2-4) a(a3-a1) a (a,-a) 0 a-2(a2-a) a2(a3-a)…a2(an-a) 按第一列展开 a2-a1 a43-a an-a 42(a2-4) a3(a3-a1) a,(a-a) D= a-2(a2-a,)ag-2(a3-a) …a-2(an-a） 每列依次提出公因子，得到

第 i 行乘以 加到第 i + 1 行 2 1 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 2 2 2 1 3 3 1 1 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − − − − = − − − − − − 按第一列展开  1 −a 2 1 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 2 2 2 1 3 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a − − − − − − − − − = − − − 每列依次提出公因子，得到

1 D.-Il(a,-a a an -II(a-a)D 以此类推，可以得到行列式的值 D.=Π(a,-a) I<i<j<n

以此类推，可以得到行列式的值 2 3 1 2 2 2 2 2 3 1 1 2 1 1 1 n n n i i n n n n n i n i a a a D a a a a a a a D = − − − − = = − = −   （ ） （ ） 1 ( ) n j i i j n D a a    = − 