北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第七章 欧氏空间 第三节 正交变换

第三节正交变换 定义7设T是欧氏空间V中的一个线性变换，对 任意的， V都有 (T(a),T(B)=(a,B) 则称T是一个正交变换。 正交变换可以从几个不同的方面来加以刻划

第三节 正交变换 定义 7 设T是欧氏空间V 中的一个线性变换，对 任意的 , V 都有 (T(),T( )) = (, ) 则称T 是一个正交变换。 正交变换可以从几个不同的方面来加以刻划

定理3设T是n维欧氏空间V的一个线性变换，则 以下四个命题相互等价： (1)T是正交变换； （2)T保持向量的长度不变，即对于任意 有T()川=1 )若1,2)，n是V的一个标准正交基， 则 T( ),T(2),.,T(n)也是V的标准正交基； （4)T在任意一个标准正交基下的矩阵是正交 矩 证略)

定理 3 设T 是n 维欧氏空间V 的一个线性变换，则 以下四个命题相互等价： （1）T 是正交变换； （2）T 保持向量的长度不变，即对于任意 V, 有|T( )| = | |; （3）若 1 , 2 , …, n 是V 的一个标准正交基， 则 T( 1 ), T( 2 ), …, T( n )也是V 的标准正交基； （4） T 在任意一个标准正交基下的矩阵是正交 矩阵。 （证略）

由线性变换与矩阵的一一对应可知： (1)正交变换的乘积还是正交变换； (2)正交变换是可逆变换，且其逆变换也是一 个正交变换。 由ATA=E,得AA=4=1E1=1,于是有 4=±1。称行列式等于+1的正交变换为第一类 正交变换，行列式等于-1的正交变换为第二类 正交变换

由线性变换与矩阵的一一对应可知： （1）正交变换的乘积还是正交变换； （2）正交变换是可逆变换，且其逆变换也是一 个正交变换。 由ATA = E, 得|AT||A| = |A| 2 = |E| = 1, 于是有 |A| = 1。称行列式等于+1的正交变换为第一类 正交变换，行列式等于–1的正交变换为第二类 正交变换

例1平面上全体向量构成的二维欧氏空间R, 把平面绕原点按逆时针方向旋转角的线性变 换T。它在标准正交基e1,e2下的矩阵为 sin p 这是一个第一类正交变换。 上页

例1 平面上全体向量构成的二维欧氏空间R2 ， 把平面绕原点按逆时针方向旋转 角的线性变 换T 。它在标准正交基e1 , e2下的矩阵为       − =     sin cos cos sin A 这是一个第一类正交变换

例2在平面上取定一个直角坐标系，把每个向 量对x轴作一次反射，即 这是一个线性变换，它在标准正交基e1,e下的 矩阵为 6 这是一个第二类正交变换。 上页 这回

例2 在平面上取定一个直角坐标系，把每个向 量对x 轴作一次反射，即       −  =      y x y x T 这是一个线性变换，它在标准正交基e1 , e2下的 矩阵为 这是一个第二类正交变换。       − = 0 1 1 0 A