长沙理工大学：《高等代数与解析几何》课程教学资源（辅导讲义）高等代数选讲——第一章 多项式

第一章多项式 一，相关定义及结论 1.一元多项式形式表达式f)=amr”+@n-1x-1.…+@1x+ao称为数域F上文字x的一元多项式。 其中ao,a1,…,an∈Pn是非负数 (①)当an≠0时，称多项式f(c)的次数为n,记为deg(f(e》=n,并称anxn为f(c)的首项，an为f(x)的 首项系数，当am=1时称z)是首一的多项式.当an= ,=a1=0.ao≠0，称多项式fx)为零次多项 式，即deg(f》= 0:当an= =a=时，称f回)为零多项式.零多项式是唯一不定义次数的多项式 ()如果在多项式f(口)与g()中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，则称口)与g)相等，记 为f(x)=g(x). （(m)次数公式：()deg(f)±g)≤mar(deg(f(a),deg(g():(2)deg(fe)g(c)=deg(f(》+ deg(g(z)). 2整除设e,g∈F.若存在4回∈F使得f包)二g9,就称g能整除fa.记为g 否则称g(e)不能整除f(a,记为f(a)g()1f).当g(lfe)并且g()≠0时，可以用f/表示g(z)除f 所得的商。 ①带余除法对任意两个多项式fr),g(工)∈Fl,其中g()≠0，总可以找到多项式g(r),r工)∈F工，使 得)=q()g(a)+r(,其中r(回)=0，或degr()

1òŸ ıë™ ò, É'½¬9(ÿ 1. òıë™ /™Là™f(x) = anx n + an−1x n−1 · · · + a1x + a0°èÍçF˛©ix òıë™, Ÿ•a0, a1, · · · , an ∈ P, n¥öKÍ. (i) an 6= 0û,°ıë™f(x) gÍèn, Pèdeg(f(x)) = n, ø°anx nèf(x)ƒë,an èf(x) ƒëXÍ, an = 1û°f(x)¥ƒòıë™. an = · · · = a1 = 0,a0 6= 0, °ıë™f(x)è"gıë ™,=deg(f(x)) = 0; an = · · · = a1 = a0û,°f(x) è"ıë™. "ı뙥çòÿ½¬gÍıë™. (ii) XJ3ıë™f(x) Üg(x)•,ÿXÍè"ë ,”gëXÍÉ,K°f(x) Üg(x)É,P èf(x) = g(x). (iii) gÍ˙™: (1) deg(f(x) ± g(x)) ≤ max(deg(f(x)), deg(g(x))); (2)deg(f(x)g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x)). 2.ÿ f(x), g(x) ∈ F[x]. e3q(x) ∈ F[x]¶f(x) = q(x)g(x), “°g(x)Uÿf(x),Pèg(x)|f(x). ƒK°g(x)ÿUÿf(x), Pèf(x)g(x) - f(x). g(x)|f(x)øÖg(x) 6= 0û,å±^f(x)/g(x)L´g(x)ÿf(x) §˚. (i) ë{ÿ{ È?ø¸áıë™f(x), g(x) ∈ F[x],Ÿ•g(x) 6= 0,oå±Èıë™q(x), r(x) ∈ F[x],¶ f(x) = q(x)g(x) + r(x), Ÿ•r(x) = 0,½degr(x) < degg(x); Ö˜v˘¸á^áıë™q(x)Ür(x)¥ çò. 3. Åå˙œ™ f(x), g(x)¥P[x]•¸áıë™.XJP[x]•ıë™d(x) ˜vXe¸á^á: (1)d(x)¥f(x)Üg(x)˙œ™; (2)f(x)Üg(x)?¤˙œ™—¥d(x)œ™. @o“°d(x)èf(x)Üg(x)òáÅå˙œ™. (i) f(x),g(x)¥¸áÿè"ıë™. XJf(x) = q(x)g(x)+r(x), @o((f(x), g(x)) = (g(x), r(x)). (ii) d(x)¥ıë™f(x),g(x)òáÅå˙œ™,@od(x)ò½å±L´§f(x) Üg(x)|‹,=å± Èıë™u(x),v(x)¶d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x). (iii) XJd(x)¥f(x),g(x)òá˙œ™, Öd(x)å±L´§f(x)Üg(x)|‹,@od(x) ò½¥f(x) Üg(x)òáÅå˙œ™. (iv) XJ(f(x), g(x)) = 1,@o“°f(x)Üg(x)pÉ. (v) ¸áıë™f(x)Üg(x)pÉø©7á^á¥3u(x),v(x)¶u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1. (vi) XJ(f(x), g(x)) = 1,Öf(x)|g(x)h(x),@of(x)|h(x). (vii) XJg1(x)|f(x),g2(x)|f(x),øÖ(g1(x), g2(x)) = 1,@og1(x)g2(x)|f(x). 4. œ™©)½n (i) ÿåıë™ p(x) ∈ F[x]èòágÍ≥ 1 ıë™,XJp(x)ÿUL´§ÍçF[x]•¸ágÍ 'p(x)$ı뙶»,@op(x) “°èÍçF˛ÿåıë™. ògıë™o¥ÿå;XJp(x)¥òáÿåıë™,@op(x) œ™êkc 9cp(x)(˘pc¥?ø ö"~Í);òáı뙥ÿ¥ÿåıë™ù6uXÍç. (ii) p(x) ∈ F[x]èÿåıë™, @o(1) Èu?øòáıë™f[x], ½ˆp(x)|f(x); ½ˆ(p(x), f(x)) = 1;(2) Èu?ø¸áıë™f(x),g(x),lp(x)|f(x)g(x) å±Ì—p(x)|f(x) ½p(x)|g(x). (ii) (œ™©)½n) ÍçF˛zágÍ≥ 1ıë™f(x) —屩)§ÍçF ˛ò ÿåıë ™¶»,øÖ©)¥çò,=XJk¸á©)™f(x) = p1(x)p2(x)· · · ps(x) = q1(x)q2(x)· · · , qt(x),Ÿ •pi(x)(i = 1, 2, · · · , s) 9qj (x)(j = 1, 2, · · · , t)—¥ÍçF˛ÿåıë™,@o7ks = t, Öå±· ¸œ™gS,¶pi(x) = ciqi(x)(i = 1, 2, · · · , s),Ÿ•,ci(i = 1, 2, · · · , s)¥ò ö"~Í. 1 0 ê

()在多项式)的分解式中，可以取每个不可约多项式的首项系数为一，再把相同的不可约多项式 合并，于是f(e)的分解式就成为f(z)=ap(工(e)…必(x),其中a是f(x)的首项系数(c),2(e),…, p.()是各不相同的首项系数为一的不可约多项式1，m2 ,n,是正整数这种分解式称为标准分解式 5.重因式 )不可约多项式p(c)称为多项式f)的k重因式，如果(f(x).而+1()1f).如果k=0,那么p(x)不 是f(e)的因式：如果k=1,那么)称为f(x)的单因式：如果k>1,那么)称为f()的重因式如果一次因 式x-c是f(x)的k(k>0)重因式，就称c是f(z)的k重根.特别地，当k=1时，称为单根k>1时，称为重根. ()如果不可约多项式(x)是f(x)的k(k>1)重因式，那么(x)是"(x)的k-1重因式.（注意：逆命题不成 立 ()如果不可约多项式)是f)的(k≥1)重因式，那么p)分别是f(,f”(…,f-()的k 1,k-2, ,1重因式，而不是f()的因式.特别地，f)的单因式不再是f()的因式。 (v)如果不可约多项式()是fe)的重因式的充分必要条件为：p(c)是f(e)与'(e)的公因式。 ()多项式f)没有重因式的充分必要条件是f)与f()互素. ()(f(x),f'()=1是f(x)没有重根的一个充分条件。 6.多项式函数 (if(x）=anxn+an -1rn-1+…+a1x+ao∈F,a∈F,在上式中用a代x所得的数anan+am-1an-1+ +1a+ao称为f)当x=a时的值，记为fa).这样一来，多项式f)就定义了一个数域P上的函数.可以 由一个多项式来定义的函数称为数域P上的多项式函数。 ()（余数定理）月 去除多项式f),所得的余式是个常数，这个常数就等于函数值f(), 如果f(e)在r=a时函数值f(a)=0,那么a就称为f(z)的一个根或零点. ()a是fe)的根的充分必要条件是(x-af(c). (v)P工中n次多项式(n≥0)在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算， (们)如果多项式f(,g()的次数都不超过n,而它们对n+1个不同的数a1, ,an+1有相同的值，即f(a,) =9a),i=1,2 1,那么f()=g) 7.复系数与实系数多项式的因式分解 (代数基本定理)每个次数>1的复系数多项式在复数域中有一个根 等价的说：每个次数之1复系数多项式在复数域上 定有一个 次因式由此可知在复数域上所有次 数>1的多项式都是可约的：换句话说复系数不可约多项式只有 次多项式 (问)（复系数多项式因式分解定理）每个次数之1的复系数多项式都可以唯一地分解成一次因式的乘 积因此，复系数多项式的标准分解式为f(x)=a(x-a1)(红-2)…（红-a 其中a1,a2,…,a,是不同的复数：1.2…l,是正整数：1+2+…+l,等于f(工)的次数标准分解式说 明了每个n次复系数多项式恰有n个复根（重根按重数计算）. ()设f)是 个实系数多项式，如果复数a是f)的 一个根，那么a的共轭ā也是f()的一个根 (v)(实系数多项式因式分解定理)每个次数之1的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成 次与二次不可约因式的乘积，实系数多项式的标准分解式为 f(x=a(x-0.(x-c,(x2+p1x+1x)1..(x2+x+gm) 其中c 1,91 g都是实数.而且因为2+%x+4,都是不可约的，所以p,满足

(iii) 3ıë™f(x)©)™•,å±záÿåı뙃ëXÍèò,2rÉ”ÿåıë™ ‹ø,u¥f(x) ©)™“§èf(x) = ap n1 1 (x)p n2 2 (x)· · · p ns s (x),Ÿ•a ¥f(x) ƒëXÍ;p1(x), p2(x), · · · , ps(x) ¥àÿÉ”ƒëXÍèòÿåıë™;n1, n2, · · · , ns¥Í.˘´©)™°èIO©)™. 5. ­œ™ (i) ÿåıë™p(x)°èıë™f(x)k­œ™,XJp k (x)|f(x), p k+1(x) - f(x).XJk = 0,@op(x)ÿ ¥f(x) œ™; XJk = 1,@op(x)°èf(x)¸œ™;XJk > 1,@op(x)°èf(x)­œ™.XJògœ ™x − c¥f(x)k(k > 0)­œ™,“°c¥f(x)k ­ä. AO/,k = 1û,°è¸ä;k > 1û,°è­ä. (ii) XJÿåıë™p(x)¥f(x)k(k ≥ 1)­œ™,@op(x)¥f 0 (x)k − 1­œ™.(5ø:_·Kÿ§ ·) (iii) XJÿåıë™p(x)¥f(x)k(k ≥ 1)­œ™,@op(x)©O¥f 0 (x), f00(x),· · · , f(k−1)(x)k − 1, k − 2, · · · , 1­œ™, ÿ¥f (k) (x)œ™. AO/,f(x)¸œ™ÿ2¥f 0 (x)œ™. (iv) XJÿåıë™p(x)¥f(x)­œ™ø©7á^áè:p(x)¥f(x)Üf 0 (x)˙œ™. (v) ıë™f(x)vk­œ™ø©7á^á¥f(x)Üf 0 (x)pÉ. (vi) (f(x), f0 (x)) = 1¥f(x)vk­äòáø©^á. 6. ıë™ºÍ (i) f(x) = anx n+an−1x n−1+· · ·+a1x+a0 ∈ F[x],α ∈ F,3˛™•^αìx§Íanα n+an−1α n−1+ · · · + a1α + a0 °èf(x)x = aûä,Pèf(α).˘ò5,ıë™f(x)“½¬ òáÍçP˛ºÍ.å± dòáıë™5½¬ºÍ°èÍçP˛ı뙺Í. (ii) ({ͽn) ^ògıë™x−aÿıë™f(x),§{™¥á~Í,˘á~Í“uºÍäf(α). XJf(x) 3x = a ûºÍäf(α) = 0,@oα “°èf(x) òáä½":. (iii) α¥f(x)äø©7á^á¥(x − α)|f(x). (iv) P[x]•ngıë™(n ≥ 0)3ÍçP•äÿåUıuná,­äU­ÍOé. (v) XJıë™f(x), g(x)gÍ—ÿáLn, ßÇÈn+1áÿ”Íα1, · · · , αn+1kÉ”ä,=f(αi) = g(αi), i = 1, 2, · · · , n + 1, @of(x) = g(x). 7. EXÍÜ¢XÍı뙜™©) (i) (ì̓½n)zágÍ≥ 1EXÍıë™,3EÍç•kòáä. d`: zágÍ≥ 1EXÍıë™,3EÍç˛ò½kòáògœ™.ddå3EÍç˛,§kg Í> 1ıë™—¥å;ÜÈ{`EXÍÿåıë™êkògıë™. (ii) (EXÍı뙜™©)½n) zágÍ≥ 1EXÍıë™—å±çò/©)§ògœ™¶ ».œd,EXÍıë™IO©)™èf(x) = a(x − α1) l1 (x − α2) l2 · · ·(x − αs) ls . Ÿ•α1, α2, · · · , αs¥ÿ”EͶl1, l2 · · · ls¥Ͷl1 + l2 + · · · + lsuf(x)gÍ.IO©)™` ² zángEXÍıë™TknáEä(­äU­ÍOé). (iii) f(x)¥òá¢XÍıë™,XJEÍα¥f(x)òáä,@oα
›α¯è¥f(x)òáä. (iv) (¢XÍı뙜™©)½n) zágÍ≥ 1¢XÍıë™3¢Í粗å±çò/©)§ò gÜgÿ圙¶».¢XÍıë™IO©)™è f(x) = a(x − c1) l1 · · ·(x − cs) ls (x 2 + p1x + q1x) k1 · · ·(x 2 + plx + ql) kt , Ÿ•c1, · · · , cs, p1, q1, · · · , pt, qt—¥¢Í, Öœèx 2+pix+qi—¥ÿå,§±pi , qi˜vp 2 i < 4qi(i = 1, 2, · · · , t).l1, · · · ls9k1, · · · , kt—¥Í,l1 + · · · + ls + 2k1 + · · · + 2ktuf(x)gÍn. l¢XÍıë™IO©)™Ñå±w—:XJJÍα¥¢XÍıë™f(x)òáä,@oÿα¯è ¥f(x)ä, ÖßÇ­Íè¥É. 8. knXÍıë™ (i) g(x) = bnx n+bn−1x n−1+· · ·+b1x+b0¥òáö"XÍıë™.XJßàëXÍbn, · · · , b1, b0 ÿ±1 vkŸ¶˙œÍ,@og(x)“°èòáıë™. 1 1 ê

()(高斯(Gauss)引理)两个本原多项式的乘积还是本原多项式. (曲)如果一个整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积那么它一定能够分解 成两个次数较低的整系数多项式的乘积 ()如果整系数多项式f)分解成f)=g)h(口，其中g)是本原多项式，（口）是有理系数多项式，那 么h(e)一定是整系数多项式. (v设f(x)=amxn+am1xn-1+·,·+a1r+a0是一个整系数多项式如果它有一个有理根，其中r,s是互 素的整数，那么必有an,ao.特别的，如果fz)的首项系数an=1,那么f(z)的有理根都是整根，而且是o的 因数 ((艾森斯坦(Eisenstein)判别法)设f(a)=anx+an 1r-1+…+ao是一个整系数多项式如果 有一个（存在）素数p,使得(1)p1an;(2)plan-1,an-2,…,ao(3)p2a那么f(e)在有理数域上是不可约的 一.解题方法与技巧 一综合除法及应用 设f()= r+an-r-1++ao,g)=ba--+b-2r-2+…tb+o,且时0回=e- xo)g(x)+rm.则 bn-1=an,bm-2=x0bu-1+an-1,··,b1=0b+a2,l0=x0b1+a1,r0=x0bo+a0 例题1.1把f()=4-2x2+3表示成x+2的方幂的形式 例题1.2确定f)=P-10r2+15x-6的所有有理根及其重数 二多项式的根及相关问题 多项式的根中有单位根时，就称此多项式为含单位根的多项式讨论含单位根的两多项式的有关命 题时，常将原来的数域P扩为复数域C,把命题放在复数域C上的多项式环C内讨论由于整除，最大公因 式，互素等概念都不因系数域的扩大而有所改变，因此，应用（本原）单位根，可研究上述三方面的问题。 设e是一个n次单位根，若”，c,2,…,en-1是n个不同的n次单位根（也是全部的n次单位根），则称e是n 次原根，也称本原n次单位根.也就是说，如果任意一个n次单位根都可表成ek(:为整数)的形式，则说n次单位 根。是一个本原次单位 任意次的原根是否存在呢？是存在的，事实上不论是什么自然数 +isi血票总是一个n次 原根，因为9=o,c=1,e=2…,e-1=m-1是n个不同的n次单位根，故e1是n次原根 例题2.1如果红-1e),则(-1/ 证因( 11f),故f(1 ,设e是 次单位根( =0,1,2,…,n-1),则因f(e)=f)=0,故任 n次单位根，都是fx”)的根，又由于x”-1的根都是单根，线性因子x-0,工-1，…，工-n-1互素，故(”- 1f(x"). 第2页

(ii) (pd(Gauss)⁄n) ¸áı뙶»Ñ¥ıë™. (iii) XJòáXÍıë™U ©)§¸ágÍ$knXÍı뙶»,@oßò½U ©) §¸ágÍ$XÍı뙶». (iv) XJXÍıë™f(x)©)§f(x) = g(x)h(x), Ÿ•g(x)¥ıë™,h(x)¥knXÍıë™,@ oh(x)ò½¥XÍıë™. (v) f(x) = anx n+an−1x n−1+· · ·+a1x+a0¥òáXÍıë™,XJßkòáknär s ,Ÿ•r, s¥p ÉÍ,@o7ks|an, r|a0.AO,XJf(x)ƒëXÍan = 1,@of(x)knä—¥ä, Ö¥a0 œÍ. (vi) (M‹d"(Eisenstein)O{)f(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a0¥òáXÍıë™.XJ kòá(3)ÉÍp,¶(1)p - an; (2)p|an−1, an−2, · · · , a0; (3)p 2 - a0@of(x)3knÍç˛¥ÿå. , )Kê{ÜE| ò n‹ÿ{9A^ f(x) = anx n + an−1x n−1 + · · · + a0, g(x) = bn−1x n−1 + bn−2x n−2 + · · · + bx + b0, Öf(x) = (x − x0)g(x) + r0, K bn−1 = an, bn−2 = x0bn−1 + an−1, · · · , b1 = x0b2 + a2, b0 = x0b1 + a1, r0 = x0b0 + a0. ~K1.1 rf(x) = x 4 − 2x 2 + 3L´§x + 2êò/™. ~K1.2 (½f(x) = x 5 − 10x 2 + 15x − 6§kknä9Ÿ­Í.  ıë™ä9É'ØK ıë™ä•k¸†äû,“°dıë™è¹¸†äıë™.?ÿ¹¸†ä¸ıë™k'· Kû, ~Ú5ÍçP*èEÍçC,r·Kò3EÍçC˛ıë™ÇC[x]S?ÿ.duÿ,Åå˙œ ™,pÉVg—ÿœXÍç*å k§UC,œd,A^()¸†ä,åÔƒ˛„nê°ØK. ε¥òáng¸†ä,eε 0 , ε1 , ε2 , · · · , εn−1¥náÿ”ng¸†ä(襋ng¸†ä),K°ε¥n gä,è°ng¸†ä.è“¥`,XJ?øòáng¸†ä—åL§ε k (kèÍ)/™,K`ng¸† äε¥òáng¸†ä. ?øg䥃3Q? ¥3,Ø¢˛ÿÿn¥üog,Í,ε1 = cos 2π n + isin 2π n o¥òáng ä,œèε 0 1 = ε0, ε1 1 = ε1, ε2 1 = ε2, · · · , εn−1 1 = εn−1 ¥náÿ”ng¸†ä,ε1¥ngä. ~K2.1 XJ(x − 1)|f(x n),K(x n − 1)|f(x n). y œ(x − 1)|f(x n),f(1) = 0,εi¥?òng¸†ä(i = 0, 1, 2, · · · , n − 1),Kœf(ε n i ) = f(1) = 0,? òng¸†ä,—¥f(x n)ä,qdux n −1 ä—¥¸ä,Ç5œfx−ε0, x−ε1, · · · , x−εn−1pÉ,(x n − 1)|f(x n). 1 2 ê

例题2.2证明：g(e)=x2+x+1整除f()=xm+x3n+1+x+2,(m,n,是任意非负整数). 证设三次本原单位根为.则g(x)的两根为，w2.因f(w)=(w3m+(u3)严w+w3Pw2=1+w+w2=0, 同理fu2)=0,又，w2为g(z)的单根，故g(ef(c). 例题2.3设f)=x3m-x3m+1+xp+2,g)=x2-x+1,其中m,n,p为非负整数，求证当且仅当m,n,p同 为奇数或同为偶数时，g(f() 证◆2 +1=0的两根为a,,2+x+1=0的根为1， 2,则x1=-a,2=-8, 必要性：因ga)-g(a)=0,gf,故f@)=f)=0,即f-)=f(-2)=0.由f(-r)=0,得 到(-1)3m-(-x1)3m+1+(-x1)3柳+2=0(1) 欲使(1)化为r子+玉1+1=0，m,n必同为奇数或同为偶数：m,p亦然，即m,n,p必同为奇数或同为偶数. 充分性：当m,n,p同为奇数或同为偶数时.(1)式成立，从而f(-x1)=fa)=0.同理，f8)=0.又(x- a,x-3)=1,故gaf) 例题2.4证明当且仅当dn时.(xd-1l(xn-1). 证充分性：设dn,且设e是一个d次单位原根，即1，，e,…,ed-1为x4-1的所有根，从而e=1.于 是(e)r= (" 即x4-1的根全是 -1的根，故(-1c cos+isin吾是r4 1的一个根，因而-c学-1功，又因2-1-1. 故（红-e乎）(xn-1),于是e乎严-1=0，即e学=1，故dn. 例题2.5()证明：若(2+x+1h(x)+xf(x),则x-1听(，x-2((②)证明：若(x2+x+ 4)fi()+zf2(),-8f(x),-8f2(r): 证(1)设x2+x+1的两个复根为a,6(即a=1,B=--@).由于x3-1=(z-1)(x2+x+1), 所以a3=3=1.因为z2+x+1=(r-a)红-且（工-a)红-）|f1(r)+x2(x3),所以 例题2.6求多项式”-1在复数范围内和在实数范围内的因式分解 解 (k=0,1,,n-1).因为-1在复数域内恰有n个根(k=0,1,n 所以它在复数域上的式分解为z-1=红红一6红-.在一 再讨论它在实数域上的因式分解，由于a=n-k,所以sk+en-k=ek十G=2cos=是一个实数，且 由于(ek+Em-k)2-4=4cos22题-4

~K2.2 y²: g(x) = x 2 + x + 1ÿf(x) = x 3m + x 3n+1 + x 3p+2 ,(m, n, p¥?øöKÍ). y ng¸†äèω,Kg(x)¸äèω, ω2 . œf(ω) = (ω 3 ) m+(ω 3 ) nω+(ω 3 ) pω 2 = 1+ω+ω 2 = 0, ”nf(ω 2 ) = 0,qω, ω2èg(x)¸ä,g(x)|f(x). ~K2.3 f(x) = x 3n−x 3m+1+x 3p+2, g(x) = x 2−x+1,Ÿ•m, n, pèöKÍ, ¶yÖ=m, n, p” è¤Í½”èÛÍû,g(x)|f(x). y -x 2 − x + 1 = 0¸äèα, β,x 2 + x + 1 = 0äèx1, x2,Kx1 = −α, x2 = −β. 7á5:œg(α) = g(β) = 0, g(x)|f(x),f(α) = f(β) = 0,=f(−x1) = f(−x2) = 0.df(−x1) = 0, (−x1) 3n − (−x1) 3m+1 + (−x1) 3p+2 = 0 (1) ñ¶(1)zèx 2 1 + x1 + 1 = 0, m, n7”è¤Í½”èÛÍ;m, p½,,=m, n, p7”è¤Í½”èÛÍ. ø©5¶m, n, p”è¤Í½”èÛÍû,(1)™§·,l f(−x1) = f(α) = 0.”n,f(β) = 0.q(x − α, x − β) = 1,g(x)|f(x). ~K2.4 y²Ö=d|nû,(x d − 1)|(x n − 1). y ø©5:d|n,Öε¥òádg¸†ä,=1, ε, ε2 , · · · , εd−1èx d − 1§kä, l ε n = 1. u ¥(ε s ) n = (ε n) s ,(s = 0, 1, 2, · · · , d − 1. =x d − 1ä¥x n − 1ä,(x d − 1)|(x n − 1). 7á5:œe 2πi d = cos 2π d + isin 2π d ¥x d − 1òáä,œ (x − e 2πi d )|(x d − 1),qœ(x d − 1)|(x n − 1). (x − e 2πi d )|(x n − 1),u¥(e 2πi d ) n − 1 = 0,=e 2nπi d = 1,d|n. ~K2.5 (1) y²: e(x 2 + x + 1)|f1(x 3 ) + xf2(x 3 ), Kx − 1|f1(x), x − 1|f2(x); (2)y²: e(x 2 + x + 4)|f1(x 3 ) + xf2(x 3 ), Kx − 8|f1(x), x − 8|f2(x); y (1) x 2 + x + 1¸áEäèα, β(=α = −1+√ 3i 2 , β = −1− √ 3i 2 ). dux 3 − 1 = (x − 1)(x 2 + x + 1), §±α 3 = β 3 = 1,œèx 2 + x + 1 = (x − α)(x − β)Ö(x − α)(x − β) | f1(x 3 ) + xf2(x 3 ), §± f1(α 3 ) + αf2(α 3 ) = 0, f1(β 3 ) + βf2(β 3 ) = 0, =f1(1) + αf2(1) = 0, f1(1) + βf2(1) = 0. )f1(1) = f2(1) = 0, l (x − 1) | f1(x),(x − 1) | f2(x) ~K2.6 ¶ıë™x n − 13EÍâåS⁄3¢ÍâåSœ™©). ) -εk = cos 2kπ n + isin 2kπ n (k = 0, 1, . . . , n − 1). œèx n − 13EÍçSTknáäεk(k = 0, 1, . . . , n − 1),§±ß3EÍç˛œ™©)èx n − 1 = (x − 1)(x − ε1)(x − ε2). . .(x − εn−1). 2?ÿß3¢Íç˛œ™©), duε¯k = εn−k,§±εk + εn−k = εk + ¯εk = 2 cos 2kπ n ¥òá¢Í, Ö du(εk + εn−k) 2 − 4 = 4 cos2 2kπ n − 4 < 0(k = 1, . . . , n − 1), x 2 − (εk + εn−k)x + 1¥¢Íç˛ÿå ıë™. l nè¤Íû, kx n − 1 = (x − 1)[x 2 − (ε1 + εn−1)x + 1][x 2 − (ε2 + εn−2)x + 1], . . . × [x 2 − (ε n−1 2 + ε n+1 2 )x + 1]. = (x − 1)[x 2 − 2x cos 2π n + 1][x 2 − 2x cos 4π n + 1] . . . × [x 2 − 2x cos (n−1)π n + 1] = (x − 1) Qn−1 2 k=1 [x 2 − 2x cos 2kπ n + 1] nèÛÍû, K x n − 1 = (x − 1)(x + 1)[x 2 − (ε1 + εn−1)x + 1][x 2 − (ε2 + εn−2)x + 1] . . . × [x 2 − (ε n−2 2 + ε n+2 2 )x + 1] = (x − 1)(x + 1) Qn−2 2 k=1 [x 2 − 2x cos 2kπ n + 1] ~K2.7 (1) XJf 0 (x)|f(x), y²: f(x)kn­ä, Ÿ•n = deg(f(x)). y α1, α2, · · · , αs¥f 0 (x)§kpÿÉ”ä, Ÿ­Í©Oèm1, m2, · · · , ms. duf 0 (x)¥n − 1g ıë™, §±m1 + m2 + · · · + ms = n − 1. qdf 0 (x)|f(x), α1, α2, · · · , αsè¥f(x)äÖ­Í©O èm1 + 1, m2 + 1, · · · , ms + 1.u¥(m1 + 1) + (m2 + 1) + · · · + (ms + 1) = n, œdn − 1 + s = m, =s = 1. ˘L²f 0 (x) êkòáäα1, Ÿ­Íèn − 1, l α1¥f(x)n­ä. 1 3 ê

例题2.8设f(x,g(),h(x)∈Px,而且(x2+1)h(x)+(任-1)fx)+(x+2)g()=0,(r2+1)h()+ (x+1)f(x）+(x-2)g(x）=0. 试证(r2+1)f,g(》 证明将)与2)相加，可得2(x2+1h()+2x)+9》=0.由(2+1，)=1知r2+1回)+g在 再将(1)减去(2)得-2f()+4g(x)=0.故f(a)=2g(x,x2+1fx,x2+1g(r).另证：将fr,9(x),h(x)看 做多项式函数.令x=一1.代入(1).(2)得 (百-1)f1+(N百+2)g(V=0.(+1)f司+(N-2)g(=0, 两式相加，相减分别得下面两式：2互(f(+g()=0.-2f(V)+4g()=0. g)=0.同理f-√=g(- =0.从而2+1fe,9》 例题2.9设f(x,gm)是有理数域上的多项式，且f(e)在有理数域上不可约.若存在复数a使得f(@)= ga)-0,则flg( 例题2.10设f)∈Z,p是正整数p>1.如果p,k=0,1p-1,则f)无整数根 证明设m∈z,则有m=mp+k,0≤k≤p-1.设f回=三a4r,a∈Z.于是f(m)=a,(mp+ ,=∑a(modp,即fm)三f(mop,因为ptf.0≤k≤p-l,故ptf(m.特别有fm)≠0. 例题2.10求多项式x3++9有重根的条件 解令f)=x3+π+g,则有f()=3r2+n,用fa)去除f(a)得余式n1()=肛+g.于是若r(a)= 0,即p=q=0时，fz)有重根.当p≠0时，用r1(口)去除f'(x)得余式r2(c)=;当r2()=0时，即4p3+ 27g2=0时，f(e)有重根.于是f(x)有重根的充分必要条件是rn1(e)=0或r2(e)=0,也即4p2+27g2=0. 例题2.11证明：1+x+号+…+需不能有重根. 证明令fx)=1+x+号+.…+需，得f()=1+x+号+…+ 可见fe)=f'(e)+后，由于0不是f(e)的根，所以红”，Pe》=1,从而(fe,f》=(f口)+ ,》=(点，(》=1，故e)没有重根 例题2.12设一元多项式f(x)=x3-3x2=tx-1.问 1)取何值时 )有重根 ②诹怎样的整 fx)在有理数域上不可约 解()f)有重根，需使(f),∫()≠1.用辗转相除法求得(f(e,f》≠1应有t=3.或t=一。 当t=3时，f(x)有三重根1：当t=-9时，fx)有二重根- (2)若f(x)在有理数域上可约，则f(x)至少有一个一次因式，即f(x)至少有一个有理根.但是f(x)的有理 根只能是1或1，当f1)=0时，t=3:当f(-1)=0时t=-5.因此仅当t=3或=-5时，f(x)在有理数域上可 约，于是当取不等于3和-5的整数时，f(x)在有理数域上不可约. 例题2.13设fa)∈P,fx)的标准分解为f)=cpm(e)2(e)…n,(e,k≥1.试证下列条件等 价 ()f)无重因式：(2f)作为Cx中元素无重根：(3)(f(),f'()=】 证明(1)→(2)若p(,g(x)∈Px不可约，且(p(),g(》=1.因为(，(》=1，(q),9(》=1, 故x),q(x)在C中无重根.且pr),q(c)在C中无公共根.于是f(e)无重因式，则在C中无重根. 第4页

~K2.8 f(x), g(x), h(x) ∈ P[x], Ö(x 2 + 1)h(x) + (x − 1)f(x) + (x + 2)g(x) = 0, (x 2 + 1)h(x) + (x + 1)f(x) + (x − 2)g(x) = 0, £y (x 2 + 1)|(f(x), g(x)). y² Ú(1)Ü(2)É\, å2(x 2 + 1)h(x) + 2x(f(x) + g(x)) = 0. d(x 2 + 1, x) = 1x 2 + 1|f(x) + g(x). 2Ú(1)~(2)−2f(x) + 4g(x) = 0. f(x) = 2g(x), x 2 + 1|f(x), x2 + 1|g(x). ,yµÚf(x), g(x), h(x)w âı뙺Í.-x = √ −1, ì\(1),(2) ( √ −1 − 1)f( √ −1) + (√ −1 + 2)g( √ −1) = 0, (√ −1 + 1)f( √ −1) + (√ −1 − 2)g( √ −1) = 0, ¸™É\, É~©Oe°¸™: 2√ −1(f( √ −1) + g( √ −1)) = 0, −2f( √ −1) + 4g( √ −1) = 0. u¥f( √ −1) = g( √ −1) = 0. ”nf(− √ −1) = g(− √ −1) = 0. l x 2 + 1|(f(x), g(x)). ~K2.9 f(x), g(x)¥knÍç˛ıë™, Öf(x)3knÍç˛ÿå. e3EÍα¶f(α) = g(α) = 0, Kf(x)|g(x). ~K2.10 f(x) ∈ Z[x], p¥Í,p > 1.XJp - f(k), k = 0, 1 · · · p − 1, Kf(x)ÃÍä. y² m ∈ Z,Kkm = m1p + k, 0 ≤ k ≤ p − 1. f(x) = Pn i=0 aix i , ai ∈ Z. u¥f(m) = Pn i=0 ai(mip + k) i ,≡ Pn i=0 aik i (modp), =f(m) ≡ f(k)(modp),œèp - f(k), 0 ≤ k ≤ p − 1,p - f(m). AOkf(m) 6= 0. ~K2.10 ¶ıë™x 3 + px + qk­ä^á. ) -f(x) = x 3 + px + q,Kkf 0 (x) = 3x 2 + p,^f 0 (x)ÿf(x){™r1(x) = 2 3 px + q. u¥er1(x) = 0,=p = q = 0û,f(x)k­ä. p 6= 0û, ^r1(x)ÿf 0 (x){™r2(x) = 4p 3+27q 2 4p2 ; r2(x) = 0û,=4p 3 + 27q 2 = 0û,f(x)k­ä. u¥f(x)k­äø©7á^á¥r1(x) = 0½r2(x) = 0,è=4p 3 + 27q 2 = 0. ~K2.11 y²: 1 + x + x 2 2! + · · · + x n n! ÿUk­ä. y² -f(x) = 1 + x + x 2 2! + . . . + x n n! ,f 0 (x) = 1 + x + x 2 2! + . . . + x n−1 (n−1)! åÑf(x) = f 0 (x) + x n n! , du0ÿ¥f 0 (x)äߧ±(x n, f0 (x)) = 1, l (f(x), f0 (x)) = (f 0 (x) + 1 n! x n, f0 (x)) = ( 1 n! x n, f0 (x)) = 1, f(x)vk­ä. ~K2.12 òıë™f(x) = x 3 − 3x 2 = tx − 1.Ø (1) t¤äû, f(x) k­ä; (2) tNÍû, f(x) 3knÍç˛ÿå. ) (1) f(x)k­ä, I¶(f(x), f0 (x)) 6= 1. ^Œ=Éÿ{¶(f(x), f0 (x)) 6= 1Akt = 3,½t = − 15 4 . t = 3û, f(x)kn­ä1¶t = − 15 4 û, f(x)k­ä− 1 2 . (2)ef(x)3knÍç˛å,Kf(x)ñkòáògœ™, =f(x)ñkòáknä. ¥f(x)kn äêU¥1½-1,f(1) = 0û,t = 3¶f(−1) = 0ût = −5.œd=t = 3½=-5û, f(x)3knÍç˛å , u¥tÿu3⁄-5Íû, f(x)3knÍç˛ÿå. ~K2.13 f(x) ∈ P[x],f(x)IO©)èf(x) = cp1(x) k1 p2(x) k2 · · · pr(x) kr , ki ≥ 1. £ye^á d: (1) f(x)휙; (2) f(x) äèC[x]•Éíä; (3) (f(x), f0 (x)) = 1. y² (1) =⇒ (2) ep(x), q(x) ∈ P[x]ÿå, Ö(p(x), q(x)) = 1. œè(p(x), p0 (x)) = 1,(q(x), q0 (x)) = 1, p(x), q(x)3C•Ã­ä. Öp(x), q(x)3C•Ã˙
ä. u¥f(x)휙, K3C•Ã­ä. 1 4 ê

(2)→(3)因为f(x)在C中无重根.故(f（x),f(x)=1. ③)一四设f回=me%…-(.于是f国=c宫n(a-回卫a),.注意 到(p(),()Πp()=1.故1=(.f(》=Ⅱp(-,于是-1=0,1≤j≤r.故6=1,1≤ j≤下.因而f)无重因式. 三多项式的不可约性 例题3.1证明：设x)是次数大于零的多项式，如果对于任何多项式fx)与g(x),由(xf(x)g(x)可推 出p(xf()或者p(g(),那么p)是不可约多项式. 证明反设p 可约，则存在次数小于doe)的多项式ese使)三g,此时pe 由题设p(rf)或p()lg(.但这是不可能的，因为deg(f)0且首项系数为1的多项式f(工)是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为 正整数 m,fg"() 1或pxlg(a).当(p(c),gx》=1时有(e),9e)=1.而当plg(e)时，有p(elgm(,即f(z)lg"(). 充分性.反证如果f)不是某一个不可约多项式的方幂，则fe)=(e(工)…必((s>1).其 中：（是不同的不可约多项式 ,,是正整数取g()=m(,由题设(f(,m(》=1或者f)) 其中m为某一正整数但这都是不可能的.故f)是某 不可约多项式的方幂 例题3.3下列多项式在有理数域上是否可约？ (1)x+1:(②)xP+m+1,p为奇素数；(3)x4+4k红+1，k为整数 解（②令 1.代入f ++1得g()=fg 1) -Cy-1+C2r2-. -C-22+ 且pt1,plCp, ·,P-2,p(C-1+),pn故由艾森斯坦判别法知 (3)令x=y+1,代入f)=x4+4x+1,得g)=fg+1)=2+43+6r2+(4k+4)g+4k+2.取 素数p=2.由于21，又24,26,2引(4+4)，2(4+2，但221(4k+2),故由爱森斯坦判别法知g(y)在有理数 域上不可约，从而f(x)在有理数域上也不可约. 例题3.4设a1,2,…m是相异整数.证明：多项式(x-a1)(红-2)…（任一，）-1在有理数上不可约. 证明令f(e)=-(任-a1)任-a2)…(任-an)-1,假若fx)在有理数域上可约，则存在整系数多项式h(e) 与f()且degf()

(2) =⇒ (3) œèf(x)3C•Ã­ä. (f(x), f0 (x)) = 1. (3) =⇒ (1) f(x) = cp1(x) k1 p2(x) k2 · · · pr(x) kr . u¥f 0 (x) = c Pr i=1 (kipi(x) ki−1 p 0 i (x) Q j6=i pj (x) kj ). 5ø (pi(x), p0 i (x) Q j6=i pj (x) kj ) = 1. 1 = (f(x), f0 (x)) = Qr j=1 pj (x) kj−1 , u¥kj − 1 = 0, 1 ≤ j ≤ r.kj = 1, 1 ≤ j ≤ r. œ f(x)휙. n ıë™ÿå5 ~K3.1 y²: p(x)¥gÍåu"ıë™, XJÈu?¤ıë™f(x)Üg(x)ßdp(x)|f(x)g(x)åÌ —p(x)|f(x) ½ˆp(x)|g(x), @op(x)¥ÿåıë™. y² áp(x)å, K3gÍudeg(p(x))ıë™f(x), g(x) ¶p(x) = f(x)g(x), dûp(x)|f(x)g(x), dKp(x)|f(x) ½p(x)|g(x). ˘¥ÿåU,œèdeg(f(x)) 0ÖƒëXÍè1ıë™f(x)¥òáÿåıë™êòø©7á^áè È?øıë™g(x)7k(f(x), g(x)) = 1½ˆÈ,òÍm, f(x)|g m(x). y² 7á5. f(x) = p m(x), Ÿ•p(x) ¥ÿåıë™, KÈ?øıë™g(x)k(p(x), g(x)) = 1½p(x)|g(x). (p(x), g(x)) = 1ûk(f(x), g(x)) = 1. p(x)|g(x)û,kp m(x)|g m(x), =f(x)|g m(x). ø©5. áyXJf(x)ÿ¥,òáÿåıë™êò,Kf(x) = p r1 1 (x)p r2 2 (x)· · · p rs s (x)(s > 1). Ÿ •pi(x)¥ÿ”ÿåıë™,r1, · · · , ri ,¥Í.g(x) = p1(x), dK(f(x), p1(x)) = 1 ½ˆf(x)|p m 1 (x), Ÿ•mè,ò͢—¥ÿåU. f(x)¥,òÿåıë™êò. ~K3.3 eıë™3knÍç˛¥ƒå? (1) x 4 + 1; (2) x p + px + 1, pè¤ÉÍ; (3) x 4 + 4kx + 1, kèÍ. ) (2) -x = y − 1,ì\f(x) = x p + px + 1g(y) = f(y − 1) = y p − C 1 p y p−1 + C 2 p y p−2 − · · · − C p−2 p y 2 + (C p−1 p + p)y − p. dup¥ÉÍ, Öp - 1, p|C i p , i = 1, 2, · · · , p − 2, p|(C p−1 p + p), p2 - p,dM‹d"O{, g(y)3knÍç˛ÿå, l f(x)3knÍç˛èÿå. (3) -x = y + 1,ì\f(x) = x 4 + 4kx + 1, g(y) = f(y + 1) = y 4 + 4y 3 + 6y 2 + (4k + 4)y + 4k + 2.  ÉÍp = 2.du2 - 1,q2|4, 2|6, 2|(4k + 4), 2|(4k + 2), 2 2 - (4k + 2), dO‹d"O{g(y) 3knÍ ç˛ÿå,l f(x)3knÍç˛èÿå. ~K3.4 a1, a2, · · · ,n¥É…Í. y²: ıë™(x − a1)(x − a2)· · ·(x − an) − 13knͲÿå. y² -f(x) = (x − a1)(x − a2)· · ·(x − an) − 1,bef(x)3knÍç˛å, K3XÍıë™f1(x) Üf2(x) Ödegfi(x) < degf(x) ¶f(x) = f1(x)f2(x). f(ai) = f1(ai)f2(ai) = −1, œdf1(ai) = 1,f2(ai) = −1 ½f1(ai) = −1, f2(ai) = 1.u¥f1(ai) + f2(ai) = 0, (i = 1, 2, · · · , n),ddf1(x) + f2(x) = 0, =f2(x) = −f1(x), l f(x) = −f 2 1 (x),dÜf(x)ƒëXÍè1gÒ,f(x)3knÍç˛ÿå. ~K3.5 f(x) = (x − a1) 2 (x − a2) 2 · · ·(x − an) 2 + 1,Ÿ•a1, a2, · · · , an¥àÿÉ”Í,y²f(x)3 knÍç˛ÿå. y f(x) = ϕ(x)g(x),Ÿ•ϕ(x), g(x)èXÍıë™.u¥ϕ(ai), g(ai)—¥Í,Öf(ai) = ϕ(ai)g(ai) = 1, `²ϕ(ai)Üg(ai)”ä1½”ä−1. ,òê°, ?¤x,f(x)äo¥Í,œdf(x)vk¢ä, l ϕ(x) , g(x) —vk¢ä. XJϕ(ai) = 1 ϕ(aj ) = −1, Kϕ(x)7k¢ä,ϕ(a1), · · · , ϕ(an) êU”è1 ½ ”è−1, l åϕ(x) − 1Üg(x) − 1(½ˆϕ(x) + 1Üg(x) + 1)ñ¹knáäa1, a2, · · · , an, ßÇ gÍÉ⁄uf(x)gÍ2n,œdϕ(x) − 1Üg(x) − 1(½ˆϕ(x) + 1Üg(x) + 1)—¥ngıë™,ÿîb ϕ(x) − 1 = α(x − a1)· · ·(x − an),g(x) − 1 = β(x − a1)· · ·(x − an), Ÿ•α, βèÍ,Kf(x) = ϕ(x)g(x). = Qn i=1(x−ai) 2 + 1 = αβ Qn i=1(x−ai) 2 + (α+β) Qn i=1(x−ai) + 1. 'x 2n, xnXÍαβ = 1, α+β = 0.dαβ = 1åα Üβ”“,dα + β = 0åαÜβ7…“,ˆgÒ,l ·Ky. 1 5 ê

例题3.6试证：fe)=xP-1+xP-2+…+x+1(p为素数)在有理数域上是不可约的. 证令x=y+1得到fE)=P-=+1-1=yP-1+CyP-2+…+C5y-k-1+…+Cg-1= f(),则f)的各项系数为a n-11干是可找素数m满足ln.任三012 2PTap-1 2。由斯坦别法知在有理数越上不可的故在有理数域上也不可约这是 因为若fx)在有理数域上可约，则f(x)-g(x)h(x),其中有理系数多项式g(x)与h(x)的次数都小于∫(x)的次 数，则由f(g)=f(g+1)得到f()=g(y+1)h(y+1).即f()可以分解为两个次数都比它小的有理系数多项 式，故fy)在有理数域上可约，矛盾.故命题得证. 例题3.7设f)=x2+b2+r+d是整系数多项式，证明：如果d+cd是奇数，则f)在有理数域上不 可约. 证反设：如果f(x)在有理数域上可约，则在整数环上可约.于是存在整数m,n,s使得f(x=(x+m)(x2+ nr+s)=x3+ba2+cx+d,比较同次项系数，得到m+n=五，mn+8=c,ms=d.由(b+cd为奇数，推 出b+c,d均为奇数，因而由(3)可知m,s均为奇数：又由b+c=m+s+n(m+1)为奇数，推出n(m+1)必为奇 数，因而m必为偶数，这与m是奇数矛盾，故f()在有理数域上不可约 四其它问题 例题4.1分别在有理数域，实数域和复数域上将下列多项式分解为不可约多项式的乘积 (1)24 1 ）x+9:(3)x +2 (x+ 解以(1)为例()有理数域上：令y=x+1,则x+1=(g+1)1+1=y+4y3+6y2+4y+2 取p=2,则y+4r+6y+4y+6满足Eisenstein判别法的条件，因此+4r+6r+4划+6在有理数域 上不可约，因此x+1在有理数域上不可约. (m)实数域上：x4+1=(x2+1)2-(2x)2=(x2+V2x+1(x2-V2x+1),因为±22-4=-21且m=m1dn=n1d其中1S m

~K3.6 £y:f(x) = x p−1 + x p−2 + · · · + x + 1(pèÉÍ)3knÍç˛¥ÿå. y -x = y + 1,f(x) = x p−1 x−1 = (y+1)p−1 y = y p−1 + C 1 p y p−2 + · · · + C k p y p−k−1 + · · · + C p−1 p = f(y),Kf(y)àëXÍèai = C p−i−1 p (i = 0, 1, 2, · · · , p − 1),u¥åÈÉÍp,˜vp|ai(i = 0, 1, 2, · · · , p − 2); p - ap−1; p 2 - a0.dM‹d"O{åf(y)3knÍç˛ÿå,f(x)3knÍç˛èÿå,˘¥ œèef(x)3knÍç˛å,Kf(x) = g(x)h(x),Ÿ•knXÍıë™g(x)Üh(x)gÍ—uf(x)g Í, Kdf(y) = f(y + 1)f(y) = g(y + 1)h(y + 1),=f(y)屩)è¸ágÍ—'ßknXÍıë ™,f(y)3knÍç˛å,gÒ.·Ky. ~K3.7 f(x) = x 3 + bx2 + cx + d¥XÍıë™,y²:XJbd + cd¥¤Í,Kf(x)3knÍç˛ÿ å. y á:XJf(x)3knÍç˛å,K3ÍDzå,u¥3Ím, n, s¶f(x) = (x+m)(x 2+ nx + s) = x 3 + bx2 + cx + d,'”gëXÍ,m + n = b, mn + s = c, ms = d. d(b + c)dè¤Í,Ì —b + c, d˛è¤Í,œ d(3)åm, s˛è¤Í;qdb + c = m + s + n(m + 1)è¤Í,Ì—n(m + 1)7è¤ Í,œ m7èÛÍ,˘Üm¥¤ÍgÒ,f(x)3knÍç˛ÿå. o ŸßØK ~K4.1 ©O3knÍç,¢Íç⁄EÍç˛Úeı뙩)èÿåı뙶» (1) x 4 + 1; (2) x 4 + 9; (3) x 6 + 27 (4) x 4 + x 2 + 1 ) ±(1)è~ (i) knÍç˛: -y = x + 1, Kx 4 + 1 = (y + 1)4 + 1 = y 4 + 4y 3 + 6y 2 + 4y + 2. p = 2, Ky 4 + 4y 3 + 6y 2 + 4y + 6 ˜vEisensteinO{^á, œdy 4 + 4y 3 + 6y 2 + 4y + 63knÍç ˛ÿå, œdx 4 + 13knÍç˛ÿå. (ii) ¢Íç˛: x 4 + 1 = (x 2 + 1)2 −( √ 2x) 2 = (x 2 + √ 2x+ 1)(x 2 − √ 2x+ 1), œè(± √ 2)2 −4 = −2 1Öm = m1d, n = n1d,Ÿ•1 ≤ m1 < m.-ω¥òámgä.äω m1 ,eyω m1èf(x), g(x)˙
ä. œω m = 1,œ (ω m1 ) n = ω m1n1d = (ω m) n1 = 1, =ω m1èòáng¸†ä,qduωèmgä, 1 ≤ m1 < m,ω m1 6= 1,u¥ω m17èg(x)ä.qœ)ω m1 ) m = (ω m) m1 = 1,Öω m1 6= 1,ω m1 . q7èf(x) ä,l ω m1èf(x), g(x)˙
ä,˘Ü(f(x), g(x)) = 1gÒ,(m, n) = 1. y ø©5:XJ(f(x), g(x)) = k(x) 6= 1,K3k,¶(x k−1 + x k−2 + · · · + x + 1)|f(x),(x k−1 + x k−2 + · · · + x + 1)|g(x),=(x k − 1)|(x m − 1),(x k − 1)|(x n − 1). d~K2.4åk|n, k|m,˘Ü(m, n) = 1g Ò,(f(x), g(x)) = 1. 7á5:XJ(m, n) = d 6= 1,Kd|n, d|m,d~K2.4å:(x d − 1)|(x n − 1),(x d − 1)|(x m − 1). =(x d−1 + x d−2 + · · · + x + 1)|g(x),(x d−1 + x d−2 + · · · + x + 1)|f(x),˘Ü(f(x), g(x)) = 1gÒ.f(x), g(x)pÉû,7 k(m, n) = 1. ~K4.3 -EÍc¥knÍç˛ıë™ÇQ[x]•òáö"ıë™ä,-J = {f(x) ∈ Q[x]|f(c) = 0}. y²: 1 6 ê

(1)在J中存在唯一的首项系数是1的多项式p()=x”+a1xn-1+…十a,使得J中每一个多项式都可 被(x)整除： 2)(x)在有理数域上不可约 (3)如果c=V反+1，求上述的p() 证明（）由题设知J≠⊙.如果c =0.显然可取(x)=x如果c≠0，令S表示由，中多项式的次数 作成的集合，据最小数原理，S中必有最小数n取J中次数为n的首相系数为1的多项式，设为(c)=x”+ a1xn-1+·+an.对任意f()eJ,作带余除法，得f(z)=p(x)q(a)+r(e),这里r(e）=0或deg(r(》

(1) 3J•3çòƒëXÍ¥1ıë™p(x) = x n + a1x n−1 + · · · + an,¶J•zòáıë™—å p(x)ÿ; (2) p(x)3knÍç˛ÿå¶ (3) XJc = √ 2 + 1,¶˛„p(x). y² (1)dKJ 6= ∅.XJc = 0.w,åφ(x) = x.XJc 6= 0,-SL´dJ•ıë™gÍ ä§8‹,‚ÅÍn,S•7kÅÍn .J•gÍènƒÉXÍè1ıë™,èp(x) = x n + a1x n−1 + · · · + an. È?øf(x) ∈ J,äë{ÿ{,f(x) = p(x)q(x) + r(x),˘pr(x) = 0½deg(r(x)) < deg(p(x)).Jr(x) 6=,Kr(c) = f(c) − p(c)q(c) = 0,=kr(c) ∈ J,Ödeg(r(x)) < deg(p(x)), dÜp(x) {g Ò,r(x) = 0,=p(x)|f(x). ,kp1(x),‰kd5ü,Kp1(x)|p(x)Öp(x)|p1(x),dußǃëXÍè1,p1(x) = p(x). (2)ep(x)3Q˛å, =3p1(x), p2(x) ∈ Q[x],Ö0 < deg(pi(x)) < deg(p(x)), i = 1, 2, ¶p(x) = p1(x)p2(x).u¥p(c) = p1(c)p2(c) = 0,œd7kp1(c) = 0½p2(c) = 0,=p1(x) ∈ J ½p2(x) ∈ J,˘— Üp(x)3J•{gÒ,p(x)3knÍç˛ÿå. (3) c = √ 2 + 1û,-p(x) = [x − ( √ 2 + 1)][x − (− √ 2 + 1)] = x 2 − 2x − 1. p(x)(√ 2 + 1) = 0Öp(x)3 knÍç˛ÿå,p(x)觶. ~K4.4 f1(x), f2(x), · · · ft(x) ∈ P[x]. Öi 6= jû,(fi(x), fj (x)) = 1.qr1(x), r2(x), · · · , rt(x) ∈ P[x].¶f(x)¶ f(x) ≡ rj (x)(modfj (x)), 1 ≤ j ≤ t. ) -F(x) = f1(x)f2(x)· · · ft(x), Fj (x) = Q i6=j fi(x) = F(x)/fj (x). dui 6= jû(fi(x), fj (x)) = 1, (Fj (x), fj (x)) = 1, kuj (x), vj (x) ∈ P[x], ¶uj (x)Fj (x) + vj (x)fj (x) = 1. -f(x) = Pt i=1 ui(x)Fi(x)ri(x) + k(x)F(x). duFi(x) ≡ 0(modfi(x)), i 6= j; uj (x)Fj (x)rj (x) = rj (x) − vj (x)fj (x)rj (x) ≡ rj (x)(modfj (x));F(x) ≡ 0(modfj (x)),œ f(x) ≡ rj (x)(modfj (x)), 1 ≤ j ≤ t. ÿJw— ˘f(x)ÿ¥çò. ~K4.5 ¶òágÍÅ$ıë™f(x) ∈ F[x], ¶f(x)(x − 1)2ÿ§{™è2x, (x − 1)3ÿ§ {™è3x. ~K4.6 A¥ÍçP˛nê , f(x) ∈ P[x]èAAıë™, P[x]•¶d(A) = 0 gÍÅ$ ƒÉXÍè1ıë™d(x)°èAÅı/™. y²: (1) d(x)|f(x); (2) λèAAäÖ=λèd(x)ä. y² (1) dHamilton-Cayley½nf(A) = 0, §±AÅı/™d(x)3. dë{ÿ{å f(x) = q(x)d(x) + r(x), Ÿ•r(x) = 0½r(x)gÍud(x)gÍ. d˛™f(A) = q(A)d(A) + r(A), u¥r(A) = 0. dd(x)Å5r(x) = 0, d(x)|f(x). (2) ø©5 dK, d(x)|f(x). œdeλèd(x)ä, Kλw,èAAä. 7á5 b½λèAAäλÿ¥d(x)ä, K(x − λ, d(x)) = 1. œd3u(x), v(x) ∈ P[x]¶ u(x)(x − λ) + v(x)d(x) = 1 . u¥ u(A)(A − λE) + v(A)d(A) = E, Ÿ•Eèn¸† . œèd(x)èAÅı/™, §±d(A) = 0. œdd˛™åu(A)(A − λE) = E, u¥A − λEå_, œ d|A − λE| 6= 0, ˘ÜλèAAägÒ. λ¥d(x)ä. 1 7 ê

例题4.7多项式m()称为多项式f(,g(z)的一个最小公倍式，如果 1)f(r)m(z).g(r)lm(r): 29)的任一个公倍式都是m()的倍式我们以)，g)表示首项系数为1的那个最小公倍式 证明如果)，g)的首项系数都是L,那么F).9=得岛 证明令(，g(c》-dx),且f()-(e)dx,9(a)=gh(e)d(,则=fc)9n(国) g(x)i1(z,因此2是f(a)与g(a)的一个公倍式.其次，设h(c)是f()与g(a)的任一公倍式，即 存在多项式s(r),tr)使得h(国)=fr)s(工)，h()=gr)().因此h(红)dr)s()=m(e)dxt(e),消去dx 得()s(x) ae金u手是wlnb,heua但格处有是a .即h是 的倍式，故得是f)与g)的最小公倍式，即f),9川=得 例题4.8设a1,a2,,an是n个不同的数，而F)= a)(r 明：(∑”1m三上（②任意多项式用F)除所得余式为0或∑品 证明(1)令gz)=∑1-可：由于F(e)=∑=1(r-a1)小…(r-ak-1)红-ak-2)小…(r-an),所 以F'(a)=(a-a…(a-a-)a-a+)小…(a-an小于是g)=∑1-二a 可见dcg(g(x》≤n-1,且g(a)=g(a2)=…=g(a)=1,故g()=1 (2)对任意多项式f)，设f工 (r)F(z) r,其中r)=0或degr(e》≤n-1 若dcg(r》≤n 令h()=∑”1e=l,则deg(h()≤n-1.于是fa,)=ra,) h(a,i=1,2,…,n,从而r()=h(. 例题4.9a4,2,…,a与F()同上题 :b2…,bn是任意n个数，令L() 可·显然 L(a)=6,位=1,2，…，，这称为拉格朗日插值公式.利用上面的公式求一个次数

~K4.7 ıë™m(x)°èıë™f(x), g(x)òáÅ˙™, XJ 1) f(x)|m(x), g(x)|m(x); 2) f(x), g(x)?òá˙™—¥m(x)™.·Ç±[f(x), g(x)]L´ƒëXÍè1@áÅ˙™. y² XJf(x), g(x)ƒëXÍ—¥1, @o[f(x), g(x)] = f(x)g(x) (f(x),g(x)) . y² -(f(x), g(x)) = d(x),Öf(x) = f1(x)d(x), g(x) = g1(x)d(x), K f(x)g(x) (f(x),g(x)) = f(x)g1(x) = g(x)f1(x), œd f(x)g(x) (f(x),g(x)) ¥f(x) Üg(x) òá˙™. Ÿg, h(x) ¥f(x) Üg(x) ?ò˙™, = 3ıë™s(x), t(x) ¶h(x) = f(x)s(x), h(x) = g(x)t(x). œdf1(x)d(x)s(x) = g1(x)d(x)t(x), ûd(x) f1(x)s(x) = g1(x)t(x). u¥g1(x)|f1(x)s(x), f1(x)|g1(x)t(x). (f1(x), g1(x)) = 1, l kg1(x)|s(x), s(x) = g1(x)q(x), Kkh(x) = f(x)s(x) = f(x)g1(x)q(x), =h(x)¥f(x)g1(x) ™, œdh(x) ¥ f(x)g(x) (f(x),g(x)) ™,  f(x)g(x) (f(x),g(x)) ¥f(x) Üg(x)Å˙™, =[f(x), g(x)] = f(x)g(x) (f(x),g(x)) . ~K4.8 a1, a2, · · · , an¥náÿ”Í, F(x) = (x − a1)(x − a2)· · ·(x − an). y²: (1) Pn i=1 F (x) (x−ai)F 0(ai) = 1; (2) ?øıë™f(x)^F(x)ÿ§{™è0 ½ Pn i=1 f(ai)F (x) (x−ai)F 0(ai) . y² (1) -g(x) = Pn i=1 F (x) (x−ai)F 0(ai) , duF 0 (x) = Pn k=1(x−a1)· · ·(x−ak−1)(x−ak−2)· · ·(x−an), § ±F 0 (ai) = (ai−a1)· · ·(ai−ai−1)(ai−ai+1)· · ·(ai−an). u¥g(x) = Pn i=1 (x−a1)···(x−ai−1)(x−ai+1)···(x−an) (ai−a1)···(ai−ai−1)(ai−ai+1)···(ai−an) . åÑdeg(g(x)) ≤ n − 1,Ög(a1) = g(a2) = · · · = g(an) = 1,g(x) = 1. (2) È?øıë™f(x), f(x) = q(x)F(x) + r(x), Ÿ•r(x) = 0 ½deg(r(x)) ≤ n − 1. edeg(r(x)) ≤ n − 1, -h(x) = Pn i=1 f(ai)F (x) (x−ai)F 0(ai) = 1, Kdeg(h(x)) ≤ n − 1. u¥f(ai) = r(ai) = h(ai), i = 1, 2, · · · , n, l r(x) = h(x). ~K4.9 a1, a2, · · · , anÜF(x)”˛K,b1, b2, · · · , bn¥?ønáÍ, -L(x) = Pn i=1 biF (x) (x−ai)F 0(ai) . w, L(ai) = bi(i = 1, 2, · · · , n), ˘°è.ÇKFä˙™. |^˛°˙™¶òágÍ< 4ıë™f(x),ß ·‹^á:f(2) = 3, f(3) = −1, f(4) = 0, f(5) = 2. ) 3˛K•n = 4; a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, a4 = 5; b1 = 3, b2 = −1, b3 = 0, b4 = 2; F(x) = (x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5). u¥§¶ıë™è f(x) = L(x) = 3(x−2)(x−3)(x−4)(x−5) (x−2)(2−3)(2−4)(2−5) + (−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5) (x−3)(3−2)(3−4)(3−5) + 0(x−2)(x−3)(x−4)(x−5) (x−4)(4−2)(4−3)(4−5) + 2(x−2)(x−3)(x−4)(x−5) (x−5)(5−2)(5−3)(5−4) = − 2 3 x 3 + 17 2 x 2 − 203 6 x + 42. 1 8 ê