长沙理工大学：《矩阵论》课程教学资源（课件讲稿，打印版）第二章 范数理论（负责人：刘文军）

第二章 范数理论 主要内容 一、向量范数 二、矩阵范数 三、范数的应用 This document is produced by trial version of Print2Flash. Visit www.print2flash.com for more information

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第一节向量范数 主要内容： 1·向量范数的定义及几种常见的向量范数 2向量范数的等价性 ced by tri

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一、向量范数的定义 对于向量空间C”上的任意向量x,对应一个实值函数x 如果函数‖·CR满足： 1)正定性x≥0且=0台x=0 2)齐次性ax=ar,aeF 3)三角不等式x+川≤+川 则称为向量x的范数。 范数的性质：)上=x (2x-y川≤x-川 his do d by trial f Print2Flash

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实例1在向量空间C中，向量的长度是一种向量范数， 称为2-范数或欧氏范数。 2=(2k,)2 x=(x,x2,…,xn)∈Cn 证明易验证条件(i)和(ii)成立，现验证条件(iii)也 成立。下面用到了Chauchy-Schwarz不等式。 +y=(x+y.x+y)=(x.x)+(x.y)+(y.x)+(y.y) ≤x+2,y,+y6=(,+yL 两边开方即得证

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实例2在向量空间C中，向量分量的最大模是一种 向量范数，称为∞-范数。 lxl。=maxx, 证明 范数定义中的条件()显然成立， 现验证条件(ii)和(iii)也成立 x=maxlax,=lal max,=la x+yl。=maxx,+y, s max(+=max,+max=+ 反例：设x∈R,若令x=x2, 显然，它满足范数定义中的正定性，但不满足齐 次性，因此它不是R中的范数。 his do is produced by trial vers on of Print2Flash.Visit matio

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定理对x=(x,x2,…,x,)eC”C"→R分别定义三个函数 k 1一范数： 2=(x,)月 2-范数（或Euclid范数） xl。=max,l ∞一范数（或最大值范数）。 它们均构成范数。 说明：在同一个向量空间，可以定义多种向量范数，而对 于同一个向量，不同定义的范数，其大小可能不同。 x=1,2.-3y,=6L,=4=3

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引理2.1.1如果实数p21,g21,+-1 p g 则对于任意非负实数a,b,成立b≤a+ p g 证若ab-0,显然结论成立。下面只讨论a>0且b>0的情况。 考虑函数 1P 1-9 0(t)= (0<t<+0) p g tP+9-1 0'(t)= p()≥p(1)=1(0<1<+0) 11 令t=a9bp 即证 Is pro ced by trial v f Print2Flash Visit

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引理2.1.2(H6lder不等式) 如果实数p≥1g≥1+1-1则对于任意数组 p q a=(a1,a2,,an),b=61,b2,…,bn） 成立a,bsa,r运b

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证：令a,w=包 ,其中 代入上述不等式，则有 m r-） las mn p m q nd 交asm2ar+2s” m2立a2 Iby trial of Print2Flash

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Minkowski不等式：设 a=[a,a,…,a],b=[b,b,…,bn]∈C" 则对任何p之1都有 ②a+门2+a

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