北京化工大学：《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第七章 欧氏空间 第五节 酉空间介绍

第五节酉空间介绍 定义9设V是复数域上的线性空间，在V上 定义了一个二元实函数，称为内积，记作(，)， 它具有以下性质 (1)(a,B)=(B,a),这里(B,)是(，)的共 (2) (ka,B)=k(a,B); 扼 (3)(a+B,y)）=(a,Y)+(B,Y): (4)(a,)是非负实数，且(a,a)=0当且仅当 a=0,这里 是V中任意的向量，k 是任意复数，这样的线性空间称为酉空间。 回

第五节 酉空间介绍 定义 9 设V 是复数域上的线性空间，在V 上 定义了一个二元实函数，称为内积，记作( , )， 它具有以下性质 (1) (, ) = ( ,), (2) (k, ) = k(, ); (3) ( +  , ) = (, ) + ( , ); (4) (,) (,) = 0  = 0 ，这里 ， ， 是V 中任意的向量，k 是任意复数，这样的线性空间称为酉空间。 这里 ( ,) 是( , ) 的共 扼； 是非负实数，且 当且仅当

关于酉空间有如下与欧氏空间类似的重要 结论，这里只简单的列出而不做详细证明。 (1) (a,kB)=k(a,B); (2) (a,B+Y)=(a,B)+(a,Y); (3) √(a,x)称为向量的长度，记为|。 (4) Cauchy-Schwarz不等式仍成立，即对于 任意两个向量， ,B)≤aB 当且仅当 线性相关时，等号成立。 (5) 非零向量 与 的夹角为 =arccos (a,B) aB (0≤0≤π) (,)=0,则称与 正交

关于酉空间有如下与欧氏空间类似的重要 结论，这里只简单的列出而不做详细证明。 （1） (,k ) = k(, ); （2） (, +  ) = (, ) + (, ); （3） (,) 称为向量 的长度，记为| |。 （4） Cauchy-Schwarz不等式仍成立，即对于 任意两个向量 ， 有 (, )    当且仅当 ， 线性相关时，等号成立。 （5） 非零向量 与 的夹角为      ( , ) = arccos (0     ) ( , ) = 0 ，则称 与 正交

（6)任意一组线性无关的向量可以用施密特过 程正交化，并扩充成一个标准正交基。 (7)对n阶复矩阵A,用A表示以A的元素的 共轭复数作元素的矩阵。如果A满足 AA=AA'=E, 则A称为酉矩阵，其行列式的绝对值等于1。 王王王王王王王王 (8)如果A满足 则A称为厄米特Hermite)矩阵。 回

（6） 任意一组线性无关的向量可以用施密特过 程正交化，并扩充成一个标准正交基。 （7） 对n 阶复矩阵A，用 A 表示以 A 的元素的 共轭复数作元素的矩阵。如果A 满足 A A AA E, T T = = 则A 称为酉矩阵，其行列式的绝对值等于1。 （8）如果A 满足 A A T = 则A 称为厄米特(Hermite)矩阵