长沙理工大学：《矩阵论》课程教学资源（课件讲稿，打印版）第一章 矩阵的相似变换

矩阵论

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第1章矩阵的相似变换 相似变换是矩阵的一种重要变换。本章研究 矩阵在相似变换下的化简问题，这是矩阵理论中的 基本问题之一。本章的内容是后续各章的基础，虽 然部分概念在线性代数课程中已接触过，但更多的 是新的内容。为了避免篇幅过长，对部分结论将不 加证明，读者可以在高等代数教材中找到有关的证 明。 his doc is produced by trial ver

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1.1 特征值与特征向量 1.2相似对角化 1.3 Jordan标准形介绍 1.4 Hamilton-Cayley定理 1.5向量的内积 1.6酉相似下的标准形 This document is produced by trial version of Print2Flash. Visit www.print2flash.com for more information

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1.1特征值与特征向量 一特征值与特征向量的定义 定义设A∈Cw”,如果存在九∈C和非零向量x∈C”, 使Ax=x,则2叫做A的特征值，x叫做A的属于 特征值入的特征向量。 由det(2I-A)=O求特征值，即其n个根。 解(2，I-A)x=0,其非零解向量即为A的 对应于1的特征向量。 This do is pro ed by trial v of Print2Flash

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二、特征值与特征向量的求法 (I)A-E=0求出入即为特征值； (2)Ax=x→(A-1E)x=0 把得到的特征值入，代入上式， 求齐次线性方程组(A-元，E)x=0的非零解x 即为所求特征向量。 齐次线性方程组（A-E)x=0的通解x (去掉零解)即为与入；对应的全部特征向量。 This docu t is produced by trial vers of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for r

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0 例1 求矩阵A 30 的特征值和全部特征向量， 02 131 例2 求矩阵A= 2-1 的特征值和全部特征向量， 005

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三、特征值与特征向量的性质 性质1设兄是方阵A的特征值，对应的一个特征向量x 证明(1)k2是kA的特征值，对应的特征向量仍为x。 (2)2是42的特征值，对应的特征向量仍为x。 (3)当A可逆时，21是41的特征值，对应的 特征向量仍为x。 证()Ax=2x→(kA)x=(k2)x (2)A2x=A(Ax)=A(2x)=(Ax)=(2x)=2x ==x=京 This docun ent is produced by trial version of Print2Flash.Visit www.print2flash.com for more information

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推广设入是方阵A的特征值，则水是Ak的特征值。 p(2)=o+a1+22++am2m 是 (A)=aoE+aA+a2+...+amAm 的特征值。如果A可逆，则 p(2)=ak2k+…+a121+a+a12+…+am2m 是 (A0=a-kA+…+a-1A1+aE+1A+…+0mAm 的特征值

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若A可逆，问4的特征值与4的特征值有什么关系？ Ax=K,AAx=九Ax=AAx HIx=M4'x x-44lx 若，，，，是可逆矩阵4的全部特征值，则4的 全部特征值是A,AL,,A,且对应的特征向量 相同。 ced by trial ver

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性质2：矩阵A和A的特征值相同。 证明： 设1是的特征值则|A-元E=0 (A-E)=0,即|A-E=0 所以入是A的特征值 反之，亦然。 注意：特征值相同并不意味着特征向量相同。 有同一特征值1 但对应的特征向量分别为 his do Is pro ed by trial v of Print2Flash Visi

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