武汉大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章（3-7）傅立叶变换的基本性质

§3.7傅叶变换的基性质 °对称性和叠加性 °奇偶虚实性 尺度变换持性 时特性和频掺特性 微分和积分特性 卷积定理(§38) Paseva定理

§3.7傅立叶变换的基本性质 • 对称性和叠加性 • 奇偶虚实性 • 尺度变换特性 • 时移特性和频移特性 • 微分和积分特性 • 卷积定理(§3.8) • Paseval定理

1:对称惟 若f()<>F(O)则F(t)<>2f(-) 若∫(1)为偶画数,则F(t)<>2丌f() F()<>f(O) 2兀 证明见p123

1：对称性 若 f (t)  F() 则 F(t)  2f (−) 若 f (t) 为偶函数，则 F(t)  2f () 或 ( ) ( ) 2 1   F t  f 证明见p123

若()为偶画数,则时城和频域完全对称 直流和冲激画數的频谱的对称性是一例子 S(t) F(t) 2(a)

 (t) F() t  t  F(t) 2 () 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子

f(t) F(o 0 2丌 Sa( 2丌 2 f(t) F(O 2丌 202x 2

f ( t ) F (  )  2 2   2 t −  1  0 0 f ( t ) F (  ) c 2 c 2 − 2c 2c − t   2 c 1 0 0 2 −  ) 2 t .Sa ( 2 c  c 

例题一:求:F 2 t2+1 a1<>_2 2a 解:p114飘边指數信号e 2 a+o 1+a 2 <>2-e C = 2 t2+1

      t +1 1 : : F 例题一 求 2 2 2 2 + −  a a e a t      − − −  = +  +   e e t e t 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 解：p114.双边指数信号

例题二:a>1,t>0(对称性部分戚立的例 f(t=e at FT F() a+y@ f换成t F1悯F(o)=F1 La+jt t换成 对称性 C F1(o)=27f(-0)=2me +ao

at f t e − ( ) = FT   a j F + = 1 ( ) ? 1 ( ) 1 =  + = a jt F  FT 对称性      a F f e + 1 ( ) = 2 ( − ) = 2 t 换成 例题二: a 1, t  0(对称性部分成立的例子）  f 换成F1 换成 t F1 

例题三:试求数Smt 的傅立叶变换 解:若直接用F(o)=f(t)eoat oo sin t Jat 来求出Z 的傅立叶变换咯是不 容易的。 这里可用对称性来求解

例题三：试求函数 t sin t 的傅立叶变换 解：若直接用 e dt t t F f t e dt j t j t    −  −  − −   = = sin ( ) ( ) 来求出 t sin t 的傅立叶变换将是不 容易的。 这里可用对称性来求解

分祈: f(t<> Et 2 aT 2 f()={ 1 2sin o >FP(0)=Pf(t)=

分析: 2 2 sin ( )   f t  E f (t) =  1 0 t 1 t 1    2sin  F( ) = F[ f (t)] = 2  2  −

根据儡画凱对猕性可得 2sin t 2丌a1 上式西端同乘以1/2得( F(O)M sint. T ak 1 f(o) =m[(O+1)-(0-1)

根据偶函数对称性可得 1 1 0 2 ] 2 ( ) 2sin [ ( )] [      = = =    f  t t F F t F 上式两端同乘以1/2得 [ ( 1) ( 1)] 1 1 0 ] sin [ = + − −      =       u u t t F f (t) −1 1  F() ( ) 2 1 F t f ()   1 t t  

oO 我们也可以用此S=(O)m=」 sin at sin at F(o=If(te yo dt Jat r1 2a sin at e o dt=u(o+a-u(o-a)l 2 at 当0=0时 ∞ F(==f(Odt=sa -d Sa=F(jol O=0

我们也可以用此来求 dt t at S f t dt a   + − + − = = sin ( ) [ ( ) ( )] 2 sin 2 1 sin ( ) ( ) e dt u a u a at a at e dt t at F j f t e dt j t j t j t = = + − − = = − + − − + − + − −           当  = 0 时       = = = = = + − =  0 0 ( ) ( ) ( ) S F j F j f t dt S a a −a a  