武汉大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十二章（12-3）连续时间系统状态方程的求解

§123這犊时间系统收态方程的求解 用拉普拉斯变换店求斛状方程 用时城波解收海方程 矢量微分方程的求解

§12.3连续时间系统状态方程的求解 •用拉普拉斯变换法求解状态方程 •用时域法求解状态方程 矢量微分方程的求解

一状态方程的解和壮态过渡矩阵 1状态方程的解,设LTIS第k个状态方程为 xk=a1x1+ak2x2+…+ ax+bnf1+b2.2+…+bm,fm 令x(D)分>X(S),f(1)分F(s) 则X(S)-X(0)=ak1x1(S)+…+amxm、(s)+b1F(3)+…+bm2Fm(S) x In x(s)1「b1.bnF1(s) n.a,.‖xn(S b,.bE( nn

一 .状态方程的解和壮态过渡矩阵 1.状态方程的解,设LTIS第k个状态方程为 k k k kn n k k km m x ' = a x + a x +...+ a x + b f + b f +..+ b f 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) (0) ( ) .. ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 1 1 1 1 sX s X a x s a x s b F s b F s x t X s f t F s k k kn kn k km m k k i i − = + + + + +   则 令                     +                     =           −           ( ) . ( ) . . . . . ( ) ' ( ) . . . . . (0) ' (0) ( ) . ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 F s F s b b b b x s x s a a a a x x x s x s s n n m m n n n n n n

SX(S-X(O=AX(S)+ BF(S) (S1-A)X(s)=X(0)-BF(s) X(s)=(s-A)[X(0)+BF(s 令9(s)=(S/-A.解矩阵 X(s)=[X(0)+BF(s)q(S) x()=L[(s)X(O)+L[0(s)BF() S,7

( ) ( ) ... . ( ) ( ) [ (0) ( )] ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) 1 1 令 − 予解矩阵 − = − = − + − = − − = + s sI A X s sI A X BF s sI A X s X BF s SX s X AX s BF s  ( ) [ ( )] (0) [ ( ) ( )] ( ) [ (0) ( )] ( ) 1 1 x t L s X L s BF s X s X BF s S    − − = + = + z.i.r z.s.r

q(s)=(s1-A)称(S-A的矩阵 p(t=Ll(s=d d(、-A det(sl-a

} det( ) ( ) ( ) [ ( )] { 1 1 sI A adj sI A t L s L − − = = − −   (s) = (sI − A) −1 称 为(sI − A)的逆矩阵

若A是满秩的阶方阵即det(A≠0) 则存在峰一的递!, 使得AA=AA=1,则 1(A1k) det(a) 其中(Ak)是以佘因子A元素的矩阵 (Ak)=(山)是它的转置矩阵。 △k=行列式△除去第j行第k列元素所得 的行列式乘-1)+k

j k j k j k + −  =  的行列式乘以( 1) 行列式 除去第行 第 列元素所得 ， 是它的转置矩阵。 其中（ 是以余因子 为元素的矩阵 （ 使 得 ， 则 则存在唯一的逆 ， 若 是满秩的 阶方阵即 ( ) ( ) ) det( ) ) ( det( ) 0), 1 1 1 1 kj T j k j k j k T j k A A A A A A A AA A A I A A n A = = = =  − − − −

2状态过渡矩阵 令F(s)=0,则X(s)=(s)X(0) zi,r:x(t)=(0)x(0) p(t=li adj(s/-a) ,9(t)=L[(s) x(t)=(t)x(o, p (t)=e 3倒:令R=0;则本侧的状态 方程如下: Eu(t)

2.状态过渡矩阵 } , ( ) [ ( )] ( ) ( ) { . . : ( ) ( ) (0) ( ) 0, ( ) ( ) (0) 1 1 t L s sI A adj sI A t L zi r x t t x F s X s s X      − − = − − = = 令 = 则 = At x(t) = (t)x(0),(t) = e 3.例:令R=0;则本例的状态 方程如下：  Eu(t)

(m,D).(L)=(mm) LFm 0 1/L L 1/L E() 1/ 0 0 「101「s-1/Ll「s1/L S-4 011c0 1/c S 9()=(1-4)+1=a(s1-4) S 1/ s2+∞2L1/c

m L Ln = m n ( m , L).( L.n ) = ( m.n ) ( ) 01/ 1/ 0 0 1/ '' Eu t L vi c L vi cL cL    +   −  =   − =  − −  − = c s s L cs L sI A s 1/ 1/ 1/ 01/ 0 1 1 0 c s Lc s L s sI A adj sI A s sI A 1 , 1/ 1 1 / ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 1  =   − + = − − = − = −   

1/L 2 2 s+O s+O (s) C S 2 S+00S+00 若x(0)=0,则二.r的拉氏变换(s)=0(s)F(S) 1/L E/L 2 2 2 2 x(S)= s+0, s+O E S+O C 1/c 2 2 2 OSEG s-+0 s-+0 2 sS+O

            + − + =                     + + + − + = = =             + + + − +  = ) 1 ( / 0 1 1/ 1/ 1/ ( ) (0) 0, . . ( ) ( ) ( ) 1/ 1/ ( ) 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2             s s s E s E L s E L s c s c s L s s x s x z s r x s s F s s s s c s L s s s 若 则 的拉氏变换为

E sin oot x(t)=L[X(S=OL E(-coS @ot 二輪出方程的解和多輪入多输出条统的转移 函数 y(t)=cx(t)+Dy(t)>Y(s)=cX(s)+ DF(s) V(S=C(S)X(O)+[C(s)B+D]F(S) y(t)=LiLcp(s)X(O]+L [Cp(SB+ DF(S)

          − = = − (1 cos ) sin ( ) [ ( )] 0 0 0 1 E t t L E x t L X s    二.输出方程的解和多输入多输出系统的转移 函数 y(t) = Cx(t) + Dy(t) → Y(s) = CX(s) + DF(s) ( ) {[ ( ) (0)] [ ( ) ] ( )} ( ) ( ) (0) [ ( ) ] ( ) 1 1 y t L c s X L C s B D F s y s c s X C s B D F s = + + = + + − −     z.i.r z.s.r

1.转移函数矩阵(多输入多輪出糸统) y(s)=[co(s)b+ d]f(sy (s)=h(s)F(s) Hs=C(S-A)B+D 若糸统有r个輪出,m个输入,k阶则 nkxl'(t)=Akxknkxi(t)+ Bkxmemxi(t) (t)=C r×kk×1 (t)+D × (t) Hxm(s)=crxk(sl-a) Bkxm+ D Hx(s). Hxm(s

1.转移函数矩阵(多输入多输出系统) H s C sI A B D y s c s B D F s y s H s F s f f  = − + = + = −1 ( ) ( )  ( ) [ ( ) ] ( )而 ( ) ( ) ( ) 若系统有 r个输出,m个输入,k阶则 ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ' r t C t D e t t A t B e t r r k k r m m k k k k k m m           = + = +    r m r k A Bk m Dr m H s C sI   −  =  − + 1 ( ) ( )           =   ( ) . ( ) . . . ( ) . ( ) 1 11 1 H s H s H s H s r r m m